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ISSN : 2005-0461(Print)
ISSN : 2287-7975(Online)

Journal of Society of Korea Industrial and Systems Engineering Vol.48 No.2 pp.111-121
DOI : https://doi.org/10.11627/jksie.2025.48.2.111

Ballistic Missile Trajectory Prediction Model Using Observation Data

Kihoon Kwak^*

, Kyeongtaek Kim^**

, Bongwan Choi^*

, Jihoon Kyung^*†

^*Department of Industrial Engineering, Hannam University
^**Link Nine System Inc.

^†Corresponding Author : kjh@hnu.kr

Received 19/05/2025 Finally Revised 18/06/2025 Accepted 19/06/2025

Abstract

Republic of Korea is building a multi-layered missile defense system against North Korea’s growing ballistic missile threat. To maximize the intercept performance of a multi-layered missile defense system, it is important to develop an efficient engagement plan that considers the interceptable time/space of each interceptor system for ballistic missiles. To do so, it is necessary to predict the flight trajectory of the ballistic missile, which must be done within a short time considering the short battlefield environment and the speed of the ballistic missile. This study presents a model for rapid trajectory prediction of ballistic missiles using the kinetic characteristics of each flight phase(thrust phase, midcourse phase, and re-entry phase) of ballistic missiles, a method for estimating kinetic information from ballistic missile observation data(time and position), and a mathematical analysis of the equations of motion of ballistic missiles.

Key Words : Ballistic Missile Defense , Ballistic Missile Trajectory Prediction

관측자료를 이용한 탄도미사일 궤적예측 모델

곽기훈^*, 김경택^**, 최봉완^*, 경지훈^*†

^*한남대학교 산업공학과
^**㈜ 링크나인시스템

초록

키워드 :

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Cited-By

Funding:

1. 서 론

대한민국은 북한의 탄도미사일 위협 고도화에 따라 이 에 대응하는 다층 미사일방어체계를 구축하고 있다. 미사 일 방어체계는 탄도미사일을 탐지/추적하는 조기경보체 계, 조기경보체계의 정보를 분석/통합하여 요격체계에 전 달하는 지휘통제체계 및 탄도미사일 요격을 담당하는 요 격체계로 구성된다[4]. 지휘통제체계는 조기경보체계로부 터 전달받은 탄도미사일 데이터를 분석/통합하여 교전계 획을 수립하는데, 다층 미사일 방어체계의 요격 성능을 극 대화하기 위해서는 요격체계의 요격 가능시간 등을 고려 한 효율적인 교전계획 수립이 중요하다[4]. 이를 위해서는 탄도미사일의 비행궤적 예측이 선행되어야 하는데, 대한 민국의 짧은 전장환경 및 미사일의 빠른 속도를 고려 시 짧은 시간 안에 이루어져야 한다.

이러한 중요성에 따라 탄도미사일의 비행궤적 특성 및 요격체계의 요격 가능성을 분석하는 연구와 탄도미사일의 궤적을 예측하는 연구는 지속적으로 이루어져 왔다.

탄도미사일의 비행궤적 특성 분석과 관련된 연구로는 탄도 미사일의 궤적 시뮬레이션을 통해 요격체계의 방어영역을 산출하고 이를 요격체계의 배치위치 선정 등에 활용하는 방안을 제시한 연구가 있었고[3], 위협평가 알고리즘 개발에 활용할 수 있도록 탄도미사일의 종류와 사거리, 비행경로각 에 따른 비행궤적 특성을 해석한 연구가 있었으며[11], 탄도미 사일 및 장사정포의 비행궤적에 따른 요격 가능 시간과 구간 을 적용한 무기할당 알고리즘을 제시한 연구가 있었다[5].

탄도미사일의 궤적예측과 관련한 연구도 다양한 방법으로 제시되었다. 탄도미사일의 일부 구간의 궤적 측정치가 주어졌 을 때 확장칼만필터를 이용, 상태변수를 추정하여 비행단계를 식별하고 탄착점을 예측하는 방법을 제안한 연구가 있었으며 [7], 기계학습 중 하나인 랜덤 포레스트 회귀를 사용하여 궤적 을 예측하는 방법을 제시한 연구[9]와 궤적 데이터를 기반으로 생성형 AI의 시계열 데이터 예측 기능을 이용하여 경로를 예측하는 방법을 제시한 연구[2] 등이 있었다.

본 연구에서 다루고 있는 궤적예측 방법 관련, Jung and Hwang[7]의 경우는 일정 구간의 궤적 측정치를 이용하고 있어 초기 관측자료만으로 빠른 시간 안에 궤적예측을 수행하 는 데 있어 제한이 있으며, 비행단계 식별에 있어서도 추력 단계와 비추력 단계만을 구분하고 있으나, 정확한 궤적예측을 위해서는 추력단계 내에서도 세부 단계(수직상승, 피치 선회, 등자세 선회) 구분이 필요하다. Kim[9]과 Hong and Kim[2]의 연구방법에 있어서 궤적예측 결과는 학습데이터에 영향을 받는데, 학습데이터를 생성하기 위한 궤적 시뮬레이션 자체의 현실성이 낮은 경우 실제 적용에 제한이 있을 수 있다.

따라서 본 연구에서는 탄도미사일의 초기 비행단계의 최소한의 관측자료만으로도 궤적예측이 가능하고, 추력 세 부단계 추정을 통해 보다 정확하게 궤적을 예측하는 방법을 제시하였다. 또한, 수리적 분석과 적용을 통해 보다 구체적이 고 체계적인 분석이 가능한 방법을 제시하였다. 주요 방법으 로 탄도미사일 관측자료로부터 운동정보(속도, 가속도, 경로 각, 경로각 변화량 등)를 추정하고, 탄도미사일의 비행단계 별 운동정보(가속도, 경로각 변화량 등)의 특성과 운동방정 식을 이용하여 비행단계를 구분하고 궤적을 예측하는 방법 을 제시하였다.

주요 내용으로 제2장에서는 탄도미사일의 비행단계를 설명하고, 비행단계별 탄도미사일의 운동정보 특성을 분석 하였으며, 관측자료로부터 운동정보를 추정하는 방법을 제 시하였다. 제3장에서는 2장의 내용을 토대로 관측자료를 통해 추정된 운동정보를 이용하여 비행단계를 구분하고, 추력 단계 및 비추력 단계의 궤적을 예측하는 방법을 각각 제시하였으며, 전체적인 내용을 체계화한 탄도미사일 궤적 예측 모델을 제시하였다. 제4장에서는 본 모델에 대한 실험 결과를, 제5장에서는 연구내용에 대한 결론을 정리하였다.

2. 이론적 고찰

2.1 탄도미사일 비행단계별 특성

탄도미사일의 비행단계는 <Figure 1>과 같이 발사 후 연료소모가 종료 또는 중지되는 시점까지 비행하는 ‘추력 단계’와 추력 종료시점의 속도와 경로각 등에 의해 정해진 포물선 운동을 하는 ‘중간단계’, 대기권에 재진입하여 목 표지점에 도달하는 ‘재진입 단계(또는 종말단계)’로 크게 나누어진다[8].

또한, 추력 단계는 3단계로 구분되는데, 발사 직후 일정 시간 수직으로 비행하는 ‘수직상승 단계’, 사전 입력된 프 로그램에 의해 선회하는 ‘프로그램 선회(또는 무양력 선회, 피치 선회) 단계’, 연소가 종료되는 시점까지 동일한 자세 로 비행하는 ‘등자세 선회 단계’로 나누어진다[3, 8, 10].

이러한 탄도미사일의 비행특성 상 추력 세부단계(수직 상승/피치 선회/등자세 선회)에서 각각의 비행시간/속도/ 경로각 등에 따라 추력 종료시점의 위치/속도/경로각 등이 결정되고, 추력 종료 이후 비추력 단계로 돌입하여 정해진 포물선 운동을 하게 된다. 따라서, 탄도미사일 궤적예측에 있어서 관측시점의 탄도미사일이 추력 단계인지 비추력 단계인지 구분하고, 추력 단계일 경우 세부단계를 구분하 는 것은 매우 중요한 요소이다.

2.2 탄도미사일의 비행단계별 운동정보 특성

탄도미사일이 비행 중에 가해지는 힘을 궤도평면 상에 수평성분(가속도)과 수직성분(경로각 변화량)으로 분해한 운동방정식은 각각 아래의 식 (1), (2)와 같다[3].

가속도: \frac{d V}{d t} = \frac{T (\cos α) - D - m g (\sin γ)}{m}

(1)

경로각 변화량: \frac{d γ}{d t} = \frac{T (\sin α) + L - m g (\cos γ)}{m V}

(2)

* T : 추력, D : 항력( $\frac{1}{2} ρ V^{2} S C_{D}$ ), L : 양력( $\frac{1}{2} ρ V^{2} S C_{L}$ ), α : 받음각, γ : 경로각, g : 중력가속도, m : 질량

위의 운동방정식과 2.1절의 ‘탄도미사일 비행단계’를 적용하여 비행궤적을 시뮬레이션한 결과(예)는 <Figure 2>와 같으며, 이를 토대로 탄도미사일의 비행단계별 운동 정보(가속도 및 경로각 변화량)를 분석하면 다음과 같다.

가속도는 <Figure 2>의 좌측 하단의 ‘시간-가속도 그래 프’와 같이 추력 단계에서는 추력에 의해 0보다 크고, 중 간/종말 단계에서는 추력 종료 직후 0보다 작았다가(-) 공 기밀도 감소 및 중력의 영향으로 점차 증가 후에, 공기밀 도 증가에 의해 급격히 감소하게 된다.

경로각 변화량은 <Figure 2>의 우측 하단의 ‘시간-경로 각 변화량 그래프’와 같이 수직상승 단계 및 등자세 선회 에서는 0이며, 피치 선회 단계에서는 0보다 작은 상수값을 가지며, 중간/종말 단계에서는 중력에 의해 0보다 작은 값 을 가지게 된다.

위의 내용을 정리하면 <Table 1>과 같다.

본 연구에서는 이러한 탄도미사일의 비행단계별 운동 정보 특성과 운동방정식을 비행단계 구분 및 궤적예측에 적용하였다.

2.3 관측자료를 이용한 탄도미사일 운동정보 추정

주기적인 관측자료를 이용하여 탄도미사일 운동정보(속 도, 가속도, 경로각, 경로각 변화량 등)를 추정하는 방법은 아래와 같다. 2차원 공간에서 관측자료 1개는 관측시각과 위치[x좌표, y좌표(고도)]를 포함한다고 가정하면, <Table 2>와 같이 연속된 관측자료 2개[(O₁, O₂) 또는 (O₂, O₃)]를 이용하면, 해당 구간의 속도(①, ②) 및 경로각(④, ⑤)을 추 정할 수 있으며, 추정된 속도 및 경로각 2개를 이용하여 가 속도(③) 및 경로각 변화량(⑥)을 추정할 수 있다.

3. 탄도미사일 궤적예측 모델

관측자료를 통해 추정된 탄도미사일 운동정보와 탄도 미사일의 비행단계별 운동정보 특성을 이용하여 추력 단 계 및 비추력 단계 궤적예측 방법과 전체 내용을 체계화한 탄도미사일 궤적예측 모델을 제시하였다.

3.1 추력 단계 궤적예측

식 (1)에서 t 시점에서의 가속도 a_t는 아래와 같다.

a_{t} = \frac{T_{t} (\cos α_{t}) - D_{t} - m_{t} g_{t} (\sin γ_{t})}{m_{t}}

(3)

위 식에서 항력(D_t)은 $\frac{1}{2} ρ_{t} V_{t}^{2} S C_{D t}$ 이며, 항력계수(CD_t) 는 $C_{D_{t}} = C_{D_{0}} + \frac{C_{L t}^{2}}{π e A R}$ 로 표현할 수 있다[1]. 또한, 대칭형 날개꼴의 양력계수는 <Figure 3>과 같이 받음각(α) 에 따 른 함수형태 $C_{L} = C_{L_{α}} \cdot α$ 로 표현할 수 있는데[6], 탄도미 사일의 경우 대칭형이므로 이를 적용할 수 있다. 여기서 $\frac{1}{π e A R}$ 을 k 로 바꾸면, $C_{D t} = C_{D_{0}} + k {(C_{L_{α}} \cdot α_{t})}^{2}$ 가 된다.

따라서 탄도미사일의 제원(추력, 연소시간, 질량, 추진 체 질량, 면적, 항력계수, 양력계수 등)을 알고 있을 경우, 식 (3)에서 제원정보(T_t, S, $C_{D_{0}}$ , $C_{L_{α}}$ , k), 관측자료로부터 계산한 운동정보(a_t, V_t, γ_t) 및 운동정보로부터 계산(g_t, ρ_t, α_t)을 통해 값을 아는 변수에서 t를 제거하고 정리하면, 식 (4)와 같이 관측시각 기준의 탄도미사일 질량을 구할 수 있다.

m_{t} = \frac{T \cos α - D}{a + g \sin γ}

(4)

추진체의 연료가 연소시간 동안 소모되는 비율은 비선 형적이나, 본 연구에서는 단순화하여 동일하게 소모된다 고 가정하고, 발사 직전의 미사일 무게를 M, 초당 감소되 는 추진체 질량을 Δm, 탄도미사일 발사 후 경과시간을 $\hat{t}$ 이라 하면, t 시점에서의 탄도미사일 질량 m_t 는 식 (5)와 같다

m_{t} = M - Δ m \times \hat{t}

(5)

식 (5)를 식 (4)를 이용하여 다시 쓰면, 탄도미사일 발사 후 경과시간 $\hat{t}$ 는 식 (6)과 같다.

\hat{t} = (M - \frac{T \cos α - D}{a + g \sin γ}) / Δ m

(6)

탄도미사일의 종류(탄종)에 따라 발사 후 경과시간( $\hat{t}$ ) 의 계산값은 차이가 발생하므로, 추가 관측자료를 이용하 여 ‘발사 후 경과시간’을 한 번 더 계산하면 <Table 3>의 예와 같이 ‘관측시간’ 간격과 ‘추정된 발사 후 경과시간’ 의 간격이 일치하는 탄도미사일을 찾아 탄종을 추정할 수 있다.

추력 단계의 탄도미사일 궤적예측을 위해서는 현재의 비행단계가 추력 단계 중 어느 단계(수직상승, 피치 선회, 등자세 선회)에 해당되는지 추정이 필요하다. 2.2절의 ‘경 로각 변화량(dγ/dt)’ 분석내용(<Table 1> 참조)을 적용하 여 경로각 변화량이 0이면, ‘수직상승’ 또는 ‘등자세 선회 단계’로 추정할 수 있고, 0이 아니면, ‘피치 선회 단계’로 추정할 수 있다.

경로각 변화량이 0이면, ‘수직상승 단계’ 또는 ‘등자세 선회 단계’로 추정할 수 있는데, 이 경우에는 수직상승 단 계인지 등자세 선회 단계인지 구분해야 한다. 등자세 선회 단계로 추정될 경우에는 연소시점까지 동일한 자세로 비 행 후 비추력 단계로 전환하여 궤적을 예측하면 되나, 수 직상승 단계(경로각이 90°가 아닐 수도 있음.)일 경우 피치 선회 단계 및 등자세 선회 단계의 궤적을 추가로 고려해야 하기 때문이다. 만약 탄도미사일의 비행단계가 등자세 선 회 단계일 경우 수직상승 및 피치 선회 단계를 비행한 이 후이므로 비행구간 중 경로각(γ)이 수직상승 단계만 비행 하였을 경우보다 더 크다. 그런데, <Table 4>의 예와 같이 비행구간 중 경로각이 클수록 동일한 시간 동안 이동한 거리는 더 짧다(경로각이 큰 경우가 경로각이 작은 경우보 다 중력의 영향이 크므로 가속도가 작음.).

따라서 이를 응용하여 수직상승 단계 기준으로 발사지 점(시간 또는 속도가 0이 되는 지점)을 계산(추정된 탄종 의 제원 및 발사 후 경과시간을 적용, 운동방정식을 이용 하여 계산함.)하여 발사지점의 시간과 고도가 모두 0에 근 사할 경우 ‘수직상승 단계’로 판단하고, 아니면 ‘등자세 선 회 단계’로 판단할 수 있다.

비행단계가 등자세 선회 단계로 추정될 경우 추정된 탄 종의 제원정보를 이용하여 궤적을 예측할 수 있다. 피치 선회 단계로 추정될 경우는 피치 선회 단계 종료 시점(등 자세 선회 단계 시작시점)을 3가지(관측시점에 종료되는 경우, 관측시점과 추력 종료시점의 중간에 종료되는 경우, 추력 종료시점에 종료되는 경우)로 구분하여 예측한다(피 치 선회 종료시점의 경로각을 등자세 선회 단계 동안 유 지, <Figure 5> 참조). 수직상승 단계로 추정될 경우는 추 력 세부단계 별 비행시간 및 경로각 등은 알 수 없으므로, 피치 선회 단계 또는 등자세 선회 단계의 관측자료를 추가 확보 후 궤적을 예측한다.

3.2 비추력 단계 궤적예측

비추력 단계(T =0)에서 식 (1), (2)를 관측시각 t 시점으 로 각각 정리하면, 아래의 식 (7), (8)과 같다.

- (a_{t} + g_{t} \sin γ_{t}) \cdot \frac{2}{ρ_{t} V_{t}^{2}} = \frac{S}{m_{t}} [C_{D_{0}} + k {(C_{L_{α}} \cdot α_{t})}^{2}]

(7)

[{(\frac{d γ}{d t})}_{t} + \frac{g_{t} \cos γ_{t}}{V_{t}}] \cdot \frac{2}{ρ_{t} V_{t}} = \frac{S}{m_{t}} \cdot (C_{L_{α}} \cdot α_{t})

(8)

식 (7), (8)의 우변에서 단면적(S) 및 추진체 연소 후 탄 도미사일 질량(m_t)은 일정한데, 받음각 α_t가 일정하면, 우 변은 일정한 값(각각 K₁, K₂)을 갖게 되고, 좌변의 관측자 료로부터 구한 운동정보 추정값을 이용하여 K₁과 K₂의 값 을 구할 수 있다. 따라서 t + Δt 시점의 가속도 a_{(t + Δt)} 및 경로각 변화량 ${(\frac{d γ}{d t})}_{(t + Δ t)}$ 는 각각 식 (9), (10)과 같으며, 이를 이용하여 비추력 단계의 궤적을 예측할 수 있다.

a_{(t + Δ t)} = - K_{1} \cdot \frac{ρ_{(t + Δ t)} V_{(t + Δ t)}^{2}}{2} - g_{(t + Δ t)} \sin γ_{(t + Δ t)}

(9)

{(\frac{d γ}{d t})}_{(t + Δ t)} = K_{2} \cdot \frac{ρ_{(t + Δ t)} V_{(t + Δ t)}}{2} - \frac{g_{(t + Δ t)} \cos γ_{(t + Δ t)}}{V_{(t + Δ t)}}

(10)

한편, 탄도미사일 정보(질량, 양력계수, 항력계수 등) 이 용이 가능할 경우 식 (7)과 (8)을 이용하여 탄종을 일부 추정할 수 있다. 예를 들어 식 (8)에서 관측자료로부터 구한 좌변의 값이 0일 경우, 우변의 받음각 α_t는 0이 되어야 하므로, 식 (7)은 $- (a_{t} + g_{t} \sin γ_{t}) \cdot \frac{2}{ρ_{t} V_{t}^{2}} = \frac{S}{m} \cdot C_{D_{0}}$ 가 되는데, 관측 자료로부터 구한 좌변의 값과 탄도미사일 제원정보로부터 계산한 우변의 값이 일치할 경우 해당 탄종으로 추정할 수 있다.

또한, 식 (7)과 (8)의 우변의 값(각각 K₁, K₂)은 받음각 α_t 에 따라 변화하는데, 받음각이 증가하는 pull-up 기동 시 이 값이 변화하므로, 관측자료로 구한 좌변의 값을 이 용하여 pull-up 여부를 판단하고, 식 (9), (10)에 변화된 값 을 적용하여 pull-up 궤적을 예측할 수 있다.

3.3 탄도미사일 궤적예측 모델

2장과 3장의 내용을 종합하여 탄도미사일 궤적예측 모 델을 <Figure 4>와 같이 정립하였다.

단계 ①은 2.3절의 방법을 이용하여 관측자료로부터 속도, 가속도, 경로각, 경로각 변화량 등 운동정보를 추정한다.

단계 ②는 추정된 운동정보 중 가속도(a) 값에 따라 추 력 또는 비추력 단계로 구분한다. 탄도미사일이 추력 단계 에서 비추력 단계로 전환되는 시점의 가속도 관측값은 유 동적이므로 추가 관측자료를 확보 후 단계 ①을 반복한다.

단계 ②에서 탄도미사일의 비행단계가 추력 단계로 추 정될 경우 단계 ③-1(추력 단계 궤적예측)을, 비추력 단계 로 추정될 경우 단계 ③-2(비추력 단계 궤적예측)를 수행 한다. 단계 ③-1에서 탄도미사일이 발사된 이후 경과시간 및 탄종을 추정하기 위해 탄도미사일 제원정보를 활용한 다. 탄도미사일 제원정보는 탄종별 추력, 총질량, 추진체 질량, 연소시간, 항력계수, 양력계수 등의 값을 포함하며, <Table 5>와 같은 자료구조로 저장된다.

4. 모델 실험

본 모델의 실험은 파이썬 언어(Colab 환경)를 이용하였 다. 실험 조건은 2차원 공간을 가정하였으며, 고도에 따른 공기밀도를 적용하였고, 기타 지구 자전 및 바람의 영향 등은 고려하지 않았다.

실험 절차는 임의의 탄종에 대한 탄도미사일 궤적 시뮬 레이션을 실행한 후, 다양한 조건에서의 성능을 확인하기 위해 비행단계별(추력/비추력)로 임의의 시각에 탄도미사 일 관측자료를 추출(관측주기는 임의로 5초로 설정)하였 다. 추출된 관측자료로부터 운동정보를 추정하고, 비행단 계 구분 및 궤적예측을 수행하였으며, 그 결과를 실제 궤 적 시뮬레이션 자료와 비교하였다.

4.1 탄도미사일 궤적 시뮬레이션 실행

탄도미사일 궤적 시뮬레이션을 위한 탄종별(3가지) 입 력 파라미터는 <Table 6>과 같으며, 가상의 자료를 적용하 였다. 탄종별 입력 파라미터는 실험 진행 간 ‘발사 후 경과 시간’ 및 ‘탄종 추정’을 위한 제원정보로도 사용된다. 본 연구에서는 지면 관계 상 3가지 탄종 중에서 사거리 300km의 탄도미사일에 대한 결과만을 정리하였다.

4.2 실험 조건

실험조건은 아래와 같이 적용하였다.

◦ 추력 / 비추력 단계 구분

<Table 1>의 ‘가속도 분석’에서 3가지 탄종의 궤적 시 뮬레이션 결과를 종합하면 추력 단계 가속도 범위는 11.0～87.4㎨이고, 비추력 단계 가속도 범위는 -147. 4～6.7㎨이다. 이러한 결과를 고려하여 추력/비추력 단계 구분 조건을 아래와 같이 적용하였다.

- 가속도 ≧ 10㎨ 이면, 추력 단계
- 가속도 < 8㎨ 이면, 비추력 단계

추정된 가속도가 8～10㎨ 사이일 경우에는 관측시간 사이에 탄도미사일이 추력 단계에서 비추력 단계로 전환되는 경우로 추가적인 관측자료를 통해 추력/비 추력 단계를 구분해야 한다.

◦ 추력 단계로 추정될 경우 3.1절의 ‘추력 세부단계 구 분방법’에 따라 경로각 변화가 없으면 ‘수직상승 단 계’ 또는 ‘등자세 선회 단계’로 추정할 수 있고, 아니 면 ‘피치 선회 단계’로 추정할 수 있다. 본 실험에서 는 계산 오차를 고려하여 임의로 0.01 radian/sec를 적 용하여 아래와 같이 구분하였다.

- 경로각 변화량 ≧ 0.01 radian/sec이면, 피치 선회 단계
- 아니면, 수직상승 단계 또는 등자세 선회 단계

◦ 위의 단계 이후 추력 세부단계가 ‘수직상승’ 또는 ‘등 자세 선회 단계’로 추정될 경우 이에 대한 구분이 필 요한데, 3.1절의 ‘수직상승 단계 기준 발사지점 계산’ 방법을 이용하되, 계산 오차 등을 고려하여 아래와 같은 기준을 적용하여 구분하였다.

- 수직상승 단계 기준으로 발사지점을 계산하여 발사 지점의 시간이 0.3초 이내 및 고도가 100m 이내(계 산 오차 고려)이면, 수직상승 단계
- 아니면, 등자세 선회 단계

4.3 실험결과

◦추력 단계 실험

사거리 300km의 탄도미사일 궤적을 시뮬레이션(낙하시 각 : 317.95초, 낙하위치 : 299,373.28m)한 후, 수직상승/피 치 선회/등자세 선회 단계별로 임의의 시각의 관측자료를 추출하였다.

실험결과는 <Table 7>과 같으며, 추정된 운동정보의 오차 크기는 가속도의 경우 실제값 대비 0.013～0.29%, 경로각 변화량의 경우 0.01% 이내였으며, 탄종추정 결 과(모두 사거리 300km로 추정)는 모두 실제 탄종과 일 치하였다. 발사 후 경과시간의 오차 크기는 실제 시간 대비 0.01～0.11초였으며, 세부 비행단계 추정결과는 모 두 실제와 일치하였다. 궤적예측 결과 낙하시각/위치의 오차 크기는 각각 0.08～0.2초 / 55～250m였다.

◦비추력 단계 실험

사거리 300km의 탄도미사일 궤적을 시뮬레이션(낙하시 각 : 317.95초, 낙하위치 : 299,373.28m)한 후, 시간대 별로 관측자료를 추출하여 궤적을 예측하였으며, 추가적으로 탄종 식별 및 pull-up 기동 시 궤적예측을 확인하였다.

실험결과는 <Table 8>과 같으며, 추정된 운동정보의 오 차 크기는 가속도의 경우 실제값 대비 0.01～1.2%, 경로각 변화량의 경우 0.01% 이내였다. 궤적예측 결과 낙하시각/ 위치의 오차 크기는 각각 0.05～5.26초 / 0.94～4,702m였 으며, 탄종추정 결과는 5회 중 3개만 일치하였는데, 오차 가 큰 경우는 경로각(γ)이 작을 때인 것으로 판단되나, 정 확한 확인을 위한 추가연구 필요하다. pull-up 기동(150초 부터 받음각을 조정함.)에 대한 궤적예측 결과 낙하시각/ 위치 오차는 각각 1.28초 / 757m였다.

추력 단계와 비추력 단계 실험결과를 종합적으로 분석 해 보면 전반적으로 의미 있는 결과를 확인할 수 있었다.

5. 결 론

본 연구에서는 탄도미사일 관측자료로부터 운동정보를 추정하고, 비행단계별 운동정보의 특성과 운동방정식을 이용하여 비행단계 추정 및 궤적예측 방법을 제시하는 등 궤적예측을 위한 전체적이고 체계적인 방법론을 제시하였 다. 탄도미사일의 초기 비행단계의 최소한의 관측자료만 으로도 궤적예측이 가능하고, 추력 세부단계 추정을 통해 보다 정확한 궤적예측이 가능하였다. 또한, 수리적 분석과 적용을 통해 보다 구체적이고 체계적인 분석이 가능한 방 법을 제시하였다.

본 모델을 궤적예측 시스템에 적용 시 pull-up 기동을 포함한 탄도미사일에 대한 신속하고 정확한 궤적예측이 가능하고, 체계적인 발전이 가능할 것으로 예상된다. 아울 러 신속하고 정확한 궤적예측을 통해 보다 현실적이고 효 율적인 교전계획 수립에 기여할 것으로 판단된다.

한편, 탄도미사일의 추력, 질량, 추진체 연소시간, 항력/ 양력계수 등은 궤적에 영향을 미치는 주요 요소로서, 초기 관측자료만으로 짧은 시간 내에 이를 분석하여 궤적을 예 측하기에는 많은 제한이 있다. 따라서, 탄도미사일의 종류 에 따라 이들 요소들 간의 상관관계와 상충관계를 분석하 여 제원 자료를 축적하고 탄도미사일 궤적예측에 활용할 경우, 정확도 향상과 시간 단축에 많은 도움이 될 수 있을 것이다.

본 연구는 수학적 모델을 기반으로 한 탄도미사일 궤적예 측 방법으로 탄도미사일과 다른 특성을 가진 극초음속 무 기, 순항 미사일 등에는 적용이 제한된다. 그러나, 본 연구에 서 일부 제시한 발사지점 계산방법 등 이론적 토대를 발전 시켜 극초음속 무기의 궤적예측 방법 및 극초음속 무기와 탄도미사일 구분방법 등을 연구할 예정이다. 또한, 모델의 오차 원인을 분석하여 모델의 정확도를 보완하겠다.

Acknowledgement

This work was supported by the Agency for Defense Development(ADD) and Hanwha Systems, grant funded by the Defense Acquisition Program Administration(DAPA) (UG243001TD, C-24-007).

Figure

<Figure 1>.

Ballistic Missile Flight Phases

<Figure 2>.

Ballistic missile trajectory simulation results(Example)

<Figure 3>.

Lift/drag coefficient variation with angle of attack for symmetrical wing shapes

<Figure 4>.

Ballistic Missile Trajectory Prediction Model

<Figure 5>.

Pitch turn phase trajectory prediction result (observation time : 30 sec) (x, y-coordinate graph)

<Figure 6>.

The result of calculating the launch point based on vertical lift

<Figure 7>.

Trajectory prediction result (observation time : 60 sec) (x, y-coordinate graph)

<Figure 8>.

Trajectory prediction result (observation time : 75 sec) (x, y-coordinate graph)

<Figure 9>.

Trajectory prediction result (observation time : 130 seconds) (x, y-coordinate graph)

<Figure 10>.

Pull-up trajectory prediction result (observation time : 200 seconds) (x, y-coordinate graph)

Table

<Table 1>.

Acceleration and path angle changes per flight phase

Flight Phase	Acceleration(a)	Path angle change(dγ/dt)
Boost phase	Vertical lift	a > 0 * simulation result ･range 300km : 11.0~50.3㎨･range 500km : 15.6~81.6㎨･range 1,000km : 21.3~87.4㎨	dγ/dt = 0
Pitch turn	dγ/dt = c (constant)
Constant attitude	dγ/dt = 0
Midcourse phase and Re-entry phase	∘Less than zero(-) immediately after the end of thrust, then gradually increasing under the influence of air density and gravity after the peak, then rapidly decreasing under the influence of air density ∘determined by −D−mg(sinγ)m * simulation result range 300km : -20.7~6.5㎨ range 500km : -55.1~6.7㎨ range 1,000km : -147.4~6.7㎨	determined by L−mg(cosγ)mV

<Table 2>.

How to estimate ballistic missile kinetic information using observation data

Categories	O1	O2	O3
Observation data	Time	t1	t2 (t1+ ∆t)	t3 (t2+ ∆t)
Location	(x1, y1)	( x2, y2)	(x3, y3)
Estimated kinetic information of ballistic missile	Velocity	x2−x12+y2−y12Δt	x3−x22+y3−y22Δt
: ①	: ②
Acceleration	(② - ①) /∆t : ③
Path angle	arctany2−y1x2−x1:④	arctany3−y2x3−x2:⑤
Path angle change	(⑤ - ④) /∆t : ⑥

<Table 3>.

Example of using additional observations to estimate ballistic type

* Estimating a missile type with A, where the actual observation time interval(5 seconds) and the estimated time interval(5.00 seconds) are the same.

Observation time based on the 2nd of 3 observations (seconds)	Elapsed time(t) after launch calculated using 3 observations and applying data per missile type	Remarks [Observation time(seconds)]
25	25.01	7.15	-11.25	20, 25, 30
30	30.01	12.63	-3.10	25, 30, 35
Time interval	5	5.00	5.48	8.15	-

<Table 4>.

Comparison of different flight paths with the same thrust(122 kN) and flight time(50 seconds)

Categories	Flying only the vertical lift(64.5°) phase	Vertical lift(20sec/90°) to pitch turn(5sec) to constant attitude flight(25sec/64.5°)
Distance/Elevation Graphs
Position after flight (m)	X-coordinate	8,602.73	6,528.62
Y-coordinate	18,035.99	16,884.10
Flight distance (m)	19,982.59	18,337.45
Velocity after flight (m/s)	953.35	899.51
Acceleration after flight (m/s2)	31.36	31.31

<Table 5>.

Ballistic missile data structure by missile type (Example)

<Table 6>.

Parameters for Ballistic Missile Trajectory Simulation

CategoriesRange	300km	500km	1000km
Mass (kg)	Warhead	1,000	600	500
Propellant	3,770	4,500	3,760
Structures	1,100	1,200	1,340
Total Mass	5,870	6,300	5,600
Thrust(kN)	122	160	174
Burn Time(sec)	65	65	70
Pitch Program	vertical lift	Angle (°)	0	0	0
Time (sec)	15	15	15
pitch turn	Angle (°)	45	45	45
Time (sec)	25	25	30
Diameter(m)	0.88	0.88	1.3
Drag coefficient	0.07	0.07	0.1
Lift coefficient	1/radian	1/radian	1/radian

<Table 7>.

Thrust Phase Experiment Results

○ : Matches actual data, × : Mismatches

1) Based on the 3rd of 4 observations (5-second interval). Since the ballistic missile trajectory simulation starts at time 0, the actual elapsed time after launch is the same as the observation time

2) In the case of ‘vertical lift(vertical launch and lift off) phase’, Trajectory estimation is performed after additional observation is obtained.

3) In the case of ‘pitch turn phase’, there are 3 types of trajectory prediction. [Trajectory prediction result (observation time : 30 seconds) : see <Figure 5>]

4) The time and y-coordinate of the launch point are not zero when calculating the launch point based on ‘vertical lift phase’, so it is estimated to be ‘constant attitude phase’ (The result of calculating the launch point based on vertical lift : see <Figure 6>).

5) Trajectory prediction result (observation time : 60 seconds) : See <Figure 7>.

Categories	Vertical lift	Pitch turn	Constant attitude
Observation time(sec)1)	11	30	35	55	60
Actual value	Acceleration (㎨)	13.4316	19.3032	21.9349	37.3354	43.0682
Path angle change (radian/s)	+0.0000	-0.0314	-0.0314	+0.0000	+0.0000
Mass (kg)	5,232.00	4,130.00	3,840.00	2,680.00	2,390.00
Estimates from observation (error)	Kinetic information	Acceleration (㎨)	13.4266 (-0.0050)	19.3185 (+0.0153)	21.9491 (+0.0142)	37.4300 (+0.0946)	43.1969 (+0.1287)
Path angle change (radian/s)	-0.0008 (-0.0008)	-0.0314 (+0.0000)	-0.0314 (+0.0000)	+0.0000 (+0.0000)	-0.0000 (-0.0000)
Missile type	○	○	○	○	○
Elapsed time after launch (sec)	10.99 (-0.01)	30.01 (+0.01)	35.01 (+0.01)	55.10 (+0.10)	60.11 (+0.11)
Mass (kg)	5,232.80 (+0.8)	4,129.49 (-0.51)	3,839.6 (-0.40)	2,673.96 (-6.04)	2,383.67 (-6.33)
Details flight phase	○ (vertical lift)	○ (pitch turn)	○ (pitch turn)	○4) (constant attitude)	○ (constant attitude)
Impact time (sec)	-2)	-3)	-3)	317.75 (-0.2)	317.870 (-0.08)
Impact location (m)	-2)	-3)	-3)	299,123.09 (-250.19)	299,428.575) (+55.29)

<Table 8>.

Non-Thrust Phase Experimental Results

○ : Matches actual data, × : Mismatches

¹⁾ Based on the 2nd of 3 observations (5-second interval).

²⁾ Trajectory prediction result (observation time : 75 seconds) : See <Figure 8>.

³⁾ Trajectory prediction result (observation time : 130 seconds) : See <Figure 9>.

⁴⁾ Pull-up maneuver ballistic missile parameters / simulation results

parameters(time/angle) : vertical lift(10sec / 0°), pitch turn(25sec / 65°), Change the angle of attack(after 150sec / 6.74°)
simulation results : fall time (365.63 seconds), fall location (distance) (378,418.73 m).

⁵⁾ Pull-up maneuver trajectory prediction result (observation time : 200 seconds) : See <Figure 10>.

Categories	General trajectories	Pull-up4)
Observation time(sec)1)	75	95	130	260	200
Actual value	Acceleration (㎨)	-6.6204	-5.7100	-3.7699	+5.5392	+2.3989
Path angle change (radian/s)	-0.0048	-0.0057	-0.0074	-0.0059	-0.0043
Estimates from observation (error)	Kinetic information	Acceleration (㎨)	-6.6259 (-0.0055)	-5.7094 (+0.0006)	-3.7692 (+0.0007)	+5.5384 (-0.0008)	+2.3686 (-0.0303)
Path angle change (radian/s)	-0.0048 (+0.0000)	-0.0057 (-0.0000)	-0.0074 (-0.0000)	-0.0059 (+0.0000)	-0.0043 (+0.0000)
Impact time (sec)	318.00 (+0.05)	318.05 (+0.10)	323.21 (+5.26)	317.70 (-0.25)	366.91 (+1.28)
Impact location (m)	299,416.492) (+43.21)	299,372.34 (-0.94)	294,670.783) (-4,702.50)	298,856.46 (-516.82)	379,176.095) (+757.36)
Missile type	○	× (range500km)	× (none)	○	○

Reference

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Missile type	Thrust	Total mass	Propellant mass	Thrust Time	Drag coefficient	Lift coefficient	k
A
B
C
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮

Observation time based on the 2nd of 3 observations (seconds)		Elapsed time(t) after launch calculated using 3 observations and applying data per missile type			Remarks [Observation time(seconds)]
		Type A	Type B	Type C	Remarks [Observation time(seconds)]
25		25.01	7.15	-11.25	20, 25, 30
30		30.01	12.63	-3.10	25, 30, 35
Time interval	5	5.00	5.48	8.15	-