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ISSN : 2005-0461(Print)
ISSN : 2287-7975(Online)

Journal of Society of Korea Industrial and Systems Engineering Vol.48 No.2 pp.1-11
DOI : https://doi.org/10.11627/jksie.2025.48.2.001

Bilevel Optimization of Merged Demurrage and Detention Policies under Uncertainty

HaeKyeong Jung^*

, Yoonjea Jeong^**†

^*Department of Data Engineering, Pukyong National University
^**Division of Systems Management and Safety Engineering, Pukyong National University

^†Corresponding Author : yoonjea@pknu.ac.k

Received 14/04/2025 Finally Revised 22/05/2025 Accepted 22/05/2025

Abstract

In the context of increasingly uncertain maritime logistics environments, container Demurrage and Detention (D&D) charges pose a significant challenge to both carriers and shippers. Traditional policies typically impose separate cost structures for container pickup (demurrage) and container return (detention), yet such separate impositions often fail to capture the interconnected nature of operational delays and the pervasive uncertainty present in hinterland container flows. This study addresses the problem of D&D decision-making under uncertainty by proposing a merged free time policy that integrates both D&D charges into a unified framework. By merging the free time allocated for both pickup and return processes, the proposed policy aims to enhance operational flexibility, reduce overall logistics costs, and provide a more predictable cost structure for carriers while improving service quality for shippers. To achieve these objectives, we develop a mathematical optimization model that incorporates stochastic pickup and return scenarios, thereby reflecting the uncertainties in container availability and transportation delays. The model embeds a strategic decision-making process between carriers and shippers through a hierarchical framework to jointly optimize free time allocations and penalty structures. Numerical experiments based on simulated data demonstrate that the merged free time policy outperforms traditional separate policies by improving container turnover efficiency and mitigating the negative impact of uncertainty on operational performance. Our findings offer valuable insights into cost management and risk reduction in maritime logistics and contribute to the literature by providing a comprehensive strategy for D&D management that supports more collaborative hinterland container operations and enhances overall supply chain resilience.

Key Words : Merged Free Time Policy , D&D , Maritime Logistics , Uncertainty , Optimization Model

불확실성 하에서 통합 체선료 및 체화료 정책을 위한 계층적 최적화

정해경^*, 정윤제^**†

^*부경대학교 데이터공학과
^**부경대학교 시스템경영⋅안전공학부

초록

키워드 :

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Funding:

1. 서 론

최근 세계 공급망은 다양한 리스크와 도전에 직면하면 서 해운 물류 산업에 심대한 영향을 미치고 있다. 특히 2020년 COVID-19 팬데믹은 항만 혼잡, 인력 부족, 공급망 전반의 지연을 유발하여 리드타임의 불확실성을 심화시켰 다[2, 11]. 팬데믹 초기에는 물류 수요 감소로 인해 운임이 하락하였으나 이후 공급망 붕괴가 발생하면서 상하이 컨 테이너 운임 지수(SCFI)는 2022년 5,000까지 급등하였다. 그러나 2023년 초에는 과잉 공급 문제로 인해 SCFI가 다 시 900 수준으로 하락하는 등 시장의 높은 변동성이 나타 났다. 또한, 최근 홍해에서의 선박 공격과 중동 지역의 지 정학적 갈등으로 인해 선박들이 우회 항로를 이용하게 되 면서 해상 운임이 급등하였다. 이에 따라 2023년 12월 21 일 기준 중국 상하이에서 영국까지의 해상 운임이 4배 이 상 증가하여 한화 약 1,300만 원에 달하기도 했다. 이러한 혼란은 해상 운송 경로, 운송 비용 등 불확실성을 더욱 심 화시키고 있다.

해운 산업은 러시아-우크라이나 전쟁, 미-중 무역 갈등 등 외부 충격에 지속적으로 영향을 받고 있으며 여기에 환경 규제가 더해지면서 SCFI의 급격한 변동성이 지속되 고 있다. 또한, 악천후, 장비 고장, 통관 지연, 노사 분쟁, 문서 오류, 트럭 수급 불균형, 요율 변동 등 다양한 리드타 임의 불확실성이 존재한다[6]. 이러한 시장의 불안정성은 공급망 운영의 예측 가능성을 저하해 기업의 수익성과 재 정적 안정성에 위협 요인으로 작용한다. 이에 따라 해운 기업들은 급변하는 시장 환경 속에서도 수익성을 확보하 고 갑작스러운 시장 붕괴에 대비할 수 있는 전략적 대응이 요구된다[12].

이러한 환경 속에서 컨테이너 물류의 핵심 운영 요소 중 하나인 ‘Free Time(무료대출기간)’이 주목받고 있다. Free Time은 컨테이너가 항만에 추가 비용 없이 보관될 수 있는 기간을 의미하며 해당 기간이 지나면 화주는 Demurrage & Detention(D&D)을 부담하게 된다. Demurrage 는 컨테이너가 항만 터미널에 장기 보관될 때 부과되는 비용이며 Detention은 화주가 컨테이너를 제시간에 반납하 지 못할 때 발생하는 비용이다. 이러한 요금 체계는 컨테이 너 흐름을 원활하게 유지하기 위한 경제적 수단으로 활용된 다. 그러나 두 요금 체계가 각각 독립적으로 부과될 경우 컨테이너 운영 흐름이 실제 물류 프로세스와 분리되어 관리 되기에 선사의 자원 운영상 비효율성을 초래할 수 있다는 지적이 제기되어 왔다[4]. 이에 일부 선사들은 내륙 컨테이 너 회전율을 높이기 위한 방안으로 D&D 요금 강화를 시도 하였으나 법적 논쟁과 고객 불만이 증가하는 등의 부작용이 발생하였다[13, 14].

운영 효율성과 비용 예측 가능성을 제고하기 위해 주요 해운사들은 Free Time 연장 서비스를 도입하고 있다. 예 를 들어, Maersk는 고객이 온라인 플랫폼을 통해 예약 접 수, 선적 지시서 제출, 선적 이후 등 다양한 시점에서 할인 된 가격으로 Free Time을 추가 구매할 수 있는 서비스를 제공하고 있다[6]. 이를 통해 기업들은 예상치 못한 지연 상황에 대비하고 추가 비용 발생을 효과적으로 줄일 수 있다. 한편, 한국무역협회는 수출 물류비 절감을 위해 인 코텀즈(Incoterms) 조건의 재검토를 권장하고 있다. 특히 Delivered at Place 조건을 활용하는 수출 기업의 경우 화물 운송을 주선하는 포워더를 통해 도착지의 Free Time 연장 을 사전 협의함으로써 불필요한 비용을 방지할 수 있으나 Free Time 연장 시 운임 상승 가능성이 존재하므로 소비자 와 협의를 통해 판매 가격을 조정하는 전략이 필요하다 [7]. 이처럼 글로벌 물류 시장의 불확실성이 지속되는 상 황에서 효과적인 Free Time 정책 운용은 비용 절감과 운영 효율성 향상에 핵심적인 역할을 한다.

기존에는 Demurrage가 항만 내 체류 시간에 대해 Detention 이 내륙 컨테이너 반납 지연에 대해 각각 부과되는 방식으 로 운영되어 왔으며 이는 화주의 책임을 분리하여 명확히 하기 위한 산업적 관행이었다[6]. 이러한 분리 부과 방식 은 선사가 화주의 반출․반입 행위를 보다 엄격하게 통제 할 수 있는 구조로 컨테이너 회전율 관리 및 수익 보호 측면에서 유리하게 작용해왔다. 실제로 Jeong et al.[5]은 Individual Free Time 구조가 선사의 전략적 요율 설정에 유리하다는 점을 언급하고 있다.

그러나 이와 같은 일방적 구조는 화주의 의사결정 유연 성을 저해하고 물류 운영 전반의 효율성 확보에 한계가 존재할 수 있다. 본 연구는 Merged Free Time 정책을 통해 두 요금 체계를 통합하여 구조적 문제를 보완하고자 하며 Stackelberg 기반 선사와 화주 간의 전략적 상호작용을 수 리적으로 모델링하고 양자 간 이해관계를 반영한 Free Time 결정 시점을 도출함으로써 화주에게는 유연성을 주 고 해운사에는 수익성 확보를 가능하게 한다[1].

적절한 Free Time 배분을 통해 컨테이너 회전율을 제고 하고 화주와 선사 모두의 재정적 부담을 경감시킬 수 있을 것으로 기대된다.

제2장에서는 기존의 D&D 정책 및 Free Time 운영 방식 에 관한 연구를 검토하고 본 연구의 차별성을 제시한다. 제3장에서는 컨테이너 반출 및 반입의 불확실성을 반영하 여 선사와 화주의 이익을 최대화하는 수리적 모델을 개발 한다. 제4장에서는 무작위로 생성된 데이터를 활용하여 모델을 검증하고 주요 파라미터의 영향을 민감도 분석을 통해 평가한다. 마지막으로, 제5장에서는 연구 결과를 요 약하고 정책적 시사점을 제시한다.

2. Literature Review

본 연구에서 제시하는 Merged D&D 정책은 컨테이 너 회전율과 물류비용에 직결되는 핵심 요소로 다양한 선행연구에서 그 경제적 효과와 운영 방식이 분석되어 왔다. 본 절에서는 이러한 관련 연구들을 검토하고 이 를 바탕으로 본 연구의 차별성과 기여점을 도출하고자 한다.

2.1 D&D 정책 관련 연구

Fazi and Roodbergen[1]은 다중 모드 물류 환경에서 D&D 요금을 최초로 수식화하고 Merged 및 Individual Free Time 정책을 비교하여 최적 정책 선택에 대한 가이드 라인을 제시하였다. 그러나 이들의 연구는 결정론적 모델 에 기반하여 실제 운영 과정에서 발생할 수 있는 불확실성 요소를 반영하지 못하였다. Jeong et al.[4]은 Detention 부 과에 초점을 맞추어 컨테이너 반입 과정의 불확실성을 반 영한 시나리오 분석을 통해 최적 요금 및 기간을 결정하고 자 하였다. 이들은 중앙집중식 및 분산형 정책의 효과를 비교하였지만 반출 과정의 불확실성은 고려하지 않아 분 석의 범위가 제한되었다. Legros et al.[8]은 Detention 요금 체계 하에서 수입자의 전략적 반납 시점을 모형화하고 재 사용 확률을 변수로 도입하여 화주의 의사결정을 분석하 였다. Demurrage는 고려하지 않았으나 실제 운영에서 화 주의 전략이 Detention 비용 구조에 미치는 영향을 명확히 보여주었다. Yu et al.[16]은 배후지 운송 시스템에서의 Detention 부과 정책을 다루며 주요 변수 조정을 통해 시스 템 내 균형을 모색하였다. 하지만 실제 운영 환경에서 D&D 정책이 어떻게 적용되어야 하는지에 대한 전략적 시 사점은 부족하다. Xing et al.[15]은 탱크 컨테이너 운영을 대상으로 유지보수 시간의 불확실성을 반영하여 컨테이너 흐름을 최적화하였다. 이는 불확실성 하의 운영 문제에 실 무적으로 접근한 연구지만 컨테이너 운송 전체 과정에서 D&D 정책과의 통합 분석은 이루어지지 않았다. 기존 연 구들은 D&D 요금 정책의 중요성을 인식하고 다양한 시각 에서 접근하였으나 일반적으로 각각의 정책을 분리하여 분석하거나 특정 구간(반출 또는 반입)에 한정된 불확실성 만을 반영하였다. D&D 정책 간의 연계성과 이를 통합적 으로 분석하는 시도는 부족한 상황이다[15].

2.2 해운물류 불확실성 및 최적화 모델 연구

불확실성 하의 해운 물류 운영을 다룬 연구로는 Song and Dong[12]이 있으며 이들은 수요의 불확실성을 반영 한 순환 운송 경로 최적화 모델을 개발하고 공 컨테이너 재배치를 위한 3단계 임곗값 제어 정책을 제안하였으며 불확실성을 반영한 전략 설계의 기초를 제공하였다. Lee and Moon[7]은 다단계 확률적 프로그래밍을 기반으로 공 컨테이너 재배치(ECR) 문제를 해결하였으며 선형 의 사결정 규칙을 적용하여 계산 효율성을 확보하였다. Long et al.[9]은 수요, 공급, 선박 용량 등 다양한 확률변 수를 고려한 확률적 프로그래밍 모델을 구축하고 샘플 평균 근사법(SAA)을 활용하여 보다 현실적인 최적화 전 략을 제시하였다.

이러한 연구들은 불확실성을 반영한 해운 물류 모델 링의 기초를 형성하고 있으나 D&D 정책과 연계된 비용 구조 및 전략적 의사결정 문제에 대한 적용은 미비하며 특히, Free Time 정책에 대한 실질적 대안 제시나 화주 와 선사의 상호 작용을 반영한 분석은 부족하다.

2.3 연구의 차별성

실제로 Fazi and Roodbergen[1]은 드라이포트 운영 사 례를 통해 Merged Free Time 정책을 도입한 결과로 컨 테이너 회전율이 8~12% 개선되고 D&D 분쟁 발생 건수 가 감소하는 등 실질적인 운영 효과를 보고한 바 있다. 이는 Free Time 정책의 유연성과 관리 효율성을 제고하 는 방향으로의 정책 전환 가능성을 시사한다.

본 연구는 이러한 실무적 배경과 정책적 흐름을 반영 하여 다음과 같은 구조적 기여점을 가진 수리모형을 제 안한다.

첫째, D&D를 개별적으로 분석하던 기존 방식에서 벗 어나 이를 통합적으로 고려한 Merged Free Time 정책 모델을 제시함으로써 요금 부과 방식의 비효율성을 개선 하여 유연한 운영 전략 수립이 가능하도록 한다.

둘째, 컨테이너 반입뿐만 아니라 반출 과정에서 발생하 는 불확실성을 통합적으로 반영함으로써 실제 물류 환경 에서 발생할 수 있는 손실 위험에 대한 대응력을 강화하며 기존 연구에서 다루지 못한 이중 불확실성 기반 통합 모델 링이라는 면에서 차별성을 갖는다.

셋째, 선사-화주 간 요금 정책 결정 및 반응 구조를 전략적 계층 관계로 모델링하기 위해 Stackelberg 게임 구조를 도입하였다. 기존의 개별 최적화 혹은 확률계획 (Stochastic Programming) 접근과 달리 선사와 화주 간 전략적 상호작용과 협상 구조를 수리적으로 반영함으로 써 해운물류 운영의 현실을 보다 정밀하게 모사할 수 있다[3].

이러한 구조적 기여를 바탕으로 본 연구는 단기적인 비 용 절감뿐 아니라 장기적인 컨테이너 회전율 향상과 물류 네트워크의 운영 효율성 증대를 동시에 달성할 수 있는 전략적 정책 설계 모델을 제안한다. 이는 기존 연구와 명 확히 구분되는 본 연구의 핵심 기여라 할 수 있다.

<Table 1>은 선행 연구들이 주로 고정된 D&D 요율을 가정하거나 개별 주체(선사 또는 화주)의 비용 최소화에 초점을 맞춘 분석이 많았음을 보여준다. 반면, 본 연구는 선사와 화주 간의 전략적 상호작용을 Stackelberg 게임 구조로 수리적으로 모델링하고 Free Time과 D&D 요율 을 통합적으로 최적화함으로써 양자 간 이해관계를 동시 에 고려하는 분석 틀을 제시한다는 점에서 구조적인 차 별성을 가진다.

3. Mathematical Model

본 연구에서 설정한 변수 체계는 해운 및 컨테이너 물 류 운영 환경의 복잡성과 불확실성을 수리적으로 반영하 고자 하는 기존 문헌의 접근을 기반으로 구성되었다. Jeong et al.[5]은 Hinterland Container Flow 상에서 발생하 는 D&D 요금을 불확실성 하에서 정식화하였으며 컨테이 너의 반출 및 반입 지연을 각각 확률변수 D₁,D₂로 정의하 여 주요 비용 항목에 대한 기댓값을 모델에 반영하였다. 본 연구에서는 기존 D&D 관점의 Individual Free Time 정 책이 아닌 선사와 화주 관점의 Merged Free Time 정책을 고려함으로써 정책의 유연성을 높이고 실무 적용 가능성 을 보다 확실하게 하고자 하였다. 이를 위해 시간 기반의 의사결정 변수 F (통합된 Free Time), t₁(화주의 컨테이너 반출 시점), t₂(화주의 컨테이너 반입 시점)와 비용 변수들 을 명확히 정의하고 선사와 화주의 이익 함수에 직관적으 로 연계되도록 구성하였다.

3.1 문제정의

<Figure 1>은 수입 컨테이너 운송 과정에서 적용되는 Merged Free Time 정책 아래의 반출․반입 흐름과 D&D 발생 구간을 시각적으로 나타낸 것이다.

전체 시간 축은 Free Time 시작 시점 a부터 계약된 Free Time 기간 F 를 지나 Free Time 종료 시점 a +F 이후로 이어지며 컨테이너의 반출 시점 t₁, 반입 시점 t₂에 따라 다음의 세 가지 시나리오로 구분된다.

Case 1 -Free Time 내 반출․반입: 화주가 반출(t₁), 반입(t₂) 모두 Free Time(F ) 내에 이루어진 경우로 D&D 요금은 부과되지 않는다.
Case 2 - Free Time 후 반입: 1^st D&D로 구분되는 사 례로 반출은 Free Time 내에 이루어졌으나 반입이 Free Time 종료 이후에 이루어져 해당 기간에 대해 D&D 요금이 부과된다.
Case 3 - Free Time 후 반출․반입: 2^nd D&D로 구분되 는 사례로 반출과 반입 모두 Free Time 종료 이후에 이루어져 전체 기간에 대해 D&D 요금이 부과된다.

본 연구는 수입 컨테이너의 반출 및 반입 과정에서 발 생하는 D&D 의사결정에 있어 선사와 화주의 전략을 수리 적으로 분석하기 위해 다음과 같은 가정 사항을 기반으로 모델을 설계하였다.

단일 컨테이너 유형 적용: 모든 실험은 표준 40피트 (ft) 컨테이너 단위를 기준으로 수행되었으며 컨테이 너 유형에 따른 비용․시간 차이는 고려하지 않았다. 이는 정책 변화의 영향을 통일된 조건에서 비교하기 위한 설정이다[5].
내륙 운송 시간 확보에 대한 보장: 선사는 Free Time 설정 시 화주가 컨테이너를 받은 후 지정 장소까지 운송하고 내부 작업을 거쳐 반환하는데 필요한 최소 시간을 보장하는 것으로 가정하였다. 이 운송 시간은 왕복 소요 시간(2_τ)으로 표현되며 Free Time은 이보 다 짧게 설정될 수 없도록 모델 제약에 반영된다[5].
컨테이너 내부 처리 시간 고려: 컨테이너 내부의 화 물을 적출(Devanning)하는 과정에는 검사, 하역, 정 비 등의 작업이 수반되며 이를 고정값으로(e + m) 설 정하여 모델에 반영하였다. 해당 개념은 Moon et al.[9]의 컨테이너 Devanning 모델을 참고하여 도입 하였다.
시간 단위 설정: 모든 시간 관련 변수는 운영 관행에 따라 ‘일(day)’ 단위로 정의되며 Free Time 및 D&D 계산 또한 동일 단위 기준으로 수행된다[5].
선사의 전략적 비용 고려: 선사는 컨테이너 반출 지연 에 따른 기회비용을 고려하며 이는 운송 노선에 따른 화물 운임 등 화주 수요 기반의 손실로 해석된다. 또 한, 화주가 과도한 요금 부담으로 인해 서비스를 포기 할 때 발생하는 수요 손실 비용(lost-sale cost)도 전략 적 판단 요소로 포함된다[5].
수입 기반의 내륙 운송 시나리오: 연구 대상은 수입 컨테이너이며 선사가 내륙 운송을 주도하는 carrier haulage 방식이 전제된다. 선박의 도착 시점은 확정된 일정으로 간주하였으며 수출 컨테이너 운영처럼 출 항 시간의 불확실성은 포함하지 않았다[5].

3.2 Stackelberg 게임 모델 적용 방식

본 연구에서는 순차적 의사결정 문제에서 마지막 단계 부터 최적의 선택을 결정하고 이를 바탕으로 앞 단계의 최적 결정을 도출하는 방법인 후진 귀납법(Backward Induction)의 개념을 활용하여 최적화 문제를 고려한다.

1단계 (선사의 최적화): 선사는 Free Time을 설정하여 컨테이너 회전율과 수익성을 최적화한다.
2단계(화주의 최적화): 선사가 결정한 값을 바탕으로 화주는 컨테이너를 반출 및 반입 시점을 결정하며 비 용을 최소화한다.

이와 같은 방식으로 Stackelberg 게임 구조를 활용하면 선사와 화주 간의 전략적 의사결정을 모델링할 수 있으며 실제 컨테이너 물류 운영에서 더욱 현실적인 최적화 해법 을 제공할 수 있다.

3.3 주요 파라미터 및 결정변수

Notation

a 컨테이너 하역 후 초기 시간
e 화주 사이트에서 컨테이너 비우는 시간
m 공 컨테이너 유지 보수 시간
τ 내륙 운송 시간
p₁₂ 통합된 단일 D&D 요금
S 컨테이너 회전 지연으로 인한 선사 수익 손실 비용
λ₁ 컨테이너 반출 발생률을 나타내는 확률적 매개변수
λ₂ 컨테이너 반입 발생률을 나타내는 확률적 매개변수
h₁ ,h₂ 적재 및 공 컨테이너 보관 비용(화주)
h 항만에서의 보관 비용
T₁ 화주가 적재 컨테이너를 반출한 후 고객 사이트에 서 최대 보관할 수 있는 기간
T₂ 화주가 공 컨테이너를 반입하기 전 고객 사이트에 서 최대 보관할 수 있는 기간
T 육상 운송 비용
R 화주가 컨테이너를 이용하여 얻는 수익(고정값)
α 선사의 Demurrage 및 Detention 이익 비율
β₁,β₂ Free Time 이내 조기 반출/반입에 따른 요금 할인 계수(0 ≤ β ≤ 1)
b 선사의 수요 손실 기회비용 계수
D₁ 반출 가능한 시점의 확률변수
D₂ 반입 가능한 시점의 확률변수

Merged Free Time 모델에서는 Individual Free Time 모 델과 달리 Demurrage와 Detention의 Free Time을 통합한 단일 Free time(F )를 설정하며 화주가 그 내에서 자유롭게 운용할 수 있게 한다.

Decision variables

F 통합된 Free Time
t₁,t₂ 화주의 컨테이너 반출 및 반입 시점

Profit function

Π_S 선사 이익 함수
Π_C 화주 이익 함수

3.4 선사 이익 함수

선사의 이익 함수를 구하기 위한 식은 다음과 같다. ${\tilde{t}}_{1}$ 은 Demurrage가 부과되는 시점 및 ${\tilde{t}}_{2}$ 는 Detention이 부과 되는 시점을 나타내며 Jeong et a1.[5]에서 제안한 이론적 기법과 수식 구조를 활용하여 식 (1) 및 식 (2)을 통해 ${\tilde{t}}_{1}$ , ${\tilde{t}}_{2}$ 을 도출하고 선사 이익 함수에 대입하여 선사의 이익이 최대화되는 최적의 F^*값을 도출한다.

{\tilde{t}}_{1} = \frac{F λ_{1} - a λ_{1} - ln[\frac{p_{12} + h_{1} e^{λ_{1} (F - T_{1})}}{h_{1}}]}{λ_{1}}

(1)

{\tilde{t}}_{2} = \frac{T_{2} λ_{2} - t_{1} λ_{2} - ln[1+ \frac{p_{12} e^{λ_{2} (T_{2} - F)}}{h_{2}}]}{λ_{2}}

(2)

수식 (1), (2)의 로그 함수 정의역 조건은 Appendix에 상 세히 기술되어 있으며 해당 조건을 만족시키는 파라미터 설계를 통해 모델 계산 시 정의역 오류 없이 안정적인 최 적화가 가능함을 확인하였다.

이와 같은 수식 구조를 바탕으로 본 모델은 확률적 수 요 환경 아래에서 선사와 화주의 기대이익을 계산하기 위 해 지수분포 형태의 확률 밀도 함수( $f (D) = λ e^{- λ D}$ )를 활 용하였다. 이에 따라 선사의 이익 함수는 D&D 이익, 보관 비용, 추가 비용 등을 포함한 항목별 기댓값의 적분 구조 로 표현되며 이는 수요의 확률적 특성을 수학적으로 반영 한 형태로 구성된다.

\begin{array}{l} M a x m i z e Π_{S} (F) \\ = \int_{F - (t_{1} + a)}^{\infty} α p_{12} [D_{1} + a + t_{1} - F] λ_{1} e^{- λ_{1} D_{1}} d D_{1} \\ + \int_{F - (t_{1} + t_{2})}^{\infty} α p_{12} [D_{2} + t_{1} + t_{2} - F] λ_{2} e^{- λ_{2} D_{2}} d D_{2} \\ - \int_{0}^{F - (t_{1} + a)} β_{1} h [F - (D_{1} + a + t_{1})] λ_{1} e^{- λ_{1} D_{1}} d D_{1} \\ - \int_{F - (t_{1} + a)}^{I N F} h [D_{1} + a + t_{1} - F] λ_{1} e^{- λ_{1} D_{1}} d D_{1} \\ - \int_{F - a}^{\infty} b [D_{1} + a - F] λ_{1} e^{- λ_{1} D_{1}} d D_{1} \\ - \int_{0}^{F - (t_{1} + t_{2})} β_{2} h [F - (D_{2} + t_{1} + t_{2})] λ_{2} e^{- λ_{2} D_{2}} d D_{2} \\ - \int_{F - (t_{1} + t_{2})}^{\infty} h [D_{2} + t_{1} + t_{2} - F] λ_{2} e^{- λ_{2} D_{2}} d D_{2} \\ - \int_{F - t_{1}}^{I N F} S [D_{2} + t_{1} - F] λ_{2} e^{- λ_{2} D_{2}} d D_{2} \end{array}

(3)

s u b j e c t t o F \geq 2 τ

(4)

선사의 이익 함수는 Free Time 종료 이후 발생하는 D&D 요금 수익을 중심으로 구성되며 동시에 다음의 비용 항목을 포함한다. 첫째, Free Time 내 반출․반입 시 적용 되는 요금 할인에 따른 수익 감소, 둘째, 초과 체류에 따른 항만 및 고객 사이트 내 보관 비용, 셋째, 회전 지연으로 인한 운송 수익 손실, 넷째, 과도한 요금 설정으로 인한 수요 손실 비용이다. 선사는 이러한 기대수익과 비용을 바 탕으로 Merged Free Time(F )을 전략적으로 결정하며 해 당 값은 최소한 왕복 운송 시간을 보장하는 조건인 F ≥ 2τ 를 만족해야 한다.

3.5 화주 이익 함수

화주 이익 함수는 화주가 컨테이너를 이용하여 얻는 수 익 R 에서 발생하는 비용의 기댓값을 차감하여 이익을 최 대화하는 구성으로 이어진다. 화주의 이익 함수는 컨테이 너 이용을 통해 얻는 고정 수익 R 에서 차감되는 비용은 지연에 따른 D&D 요금 부담, 고객 사이트 내 보관 비용 과 내륙 운송 비용으로 구성된다. 화주는 비용을 최소화 하기 위해 반출 시점 $t_{1}^{*}$ 와 반입 시점 $t_{2}^{*}$ 를 결정하며 이때 다음과 같은 시간 제약 조건을 고려해야 한다. 먼저, 컨테 이너는 최소한 운송 준비 시간이 확보된 이후에 반출할 수 있어야 하므로 t₁ ≥ τ + a의 조건을 주며 반입은 컨테이 너 내부 작업과 유지보수가 완료된 이후에만 가능하므로 t₂ ≥ e + m + τ의 제약이 함께 적용된다.

\begin{array}{l} M a x m i z e Π_{C} (t_{1}, t_{2}) \\ = R - \int_{F - (t_{1} + a)}^{\infty} p_{12} [D_{1} + a + t_{1} - F] λ_{1} e^{- λ_{1} D_{1}} d D_{1} \\ - \int_{0}^{T_{1} - (a + t_{1})} h_{1} [T_{1} - (D_{1} + a + t_{1})] λ_{1} e^{- λ_{1} D_{1}} d D_{1} \\ - \int_{F - (t_{1} + t_{2})}^{\infty} p_{12} [D_{2} + t_{1} + t_{2} - F] λ_{2} e^{- λ_{2} D_{2}} d D_{2} \\ - \int_{0}^{T_{1} - (t_{1} + t_{2})} h_{2} [T_{2} - (D_{2} + t_{1} + t_{2})] λ_{2} e^{- λ_{2} D_{2}} d D_{2} - 2 T \end{array}

(5)

s u b j e c t t o t_{1} \geq τ + a

(6)

t_{2} \geq e + m + τ

(7)

본 연구에서 제안하는 최적화 프로세스는 Merged Free Time 정책 하에서의 전략적 의사결정을 도출하기 위해 Stackelberg 게임 구조를 기반으로 설계되었다. 본 구조에 서는 선사가 리더(leader)의 역할로서 Merged Free Time을 먼저 설정하고 이를 기반으로 화주는 팔로워(follower)로 서 컨테이너의 반출 및 반입 시점을 결정한다. 이러한 계 층적 의사결정 구조에 따라 Backward Induction 기법이 적 용되며 선사의 결정을 기준으로 화주의 반응을 예측하고 다시 선사의 목적함수를 최적화하는 방식으로 해가 도출 된다. 구체적으로 초기 입력 변수( ${\tilde{t}}_{1}$ , ${\tilde{t}}_{2}$ )에 따라 화주의 예 비 의사결정값을 계산한 후 이를 반영하여 선사의 이익함 수를 최적화함으로써 최적의 Free Time 결정값(F^*)을 도 출한다. 이후 해당 값을 화주의 이익함수에 대입하여 최적 의 반출 및 반입 시점( $t_{1}^{*}$ , $t_{2}^{*}$ )을 재계산하며 이를 통해 최종 Stackelberg 해를 도출하게 된다.

전체 최적화 구조는 <Figure 2>에 도식화되어 있으며 이는 Jeong et al.[5]에서 제시된 Individual Free Time 기반 해법을 확장하여 화주의 의사결정을 하나의 통합된 Free Time 기준으로 수렴시키는 형태로 재구성된 모델이다.

4. Experiments

4.1 Validation

본 연구의 수치 실험은 기존 D&D 프로세스 관련 선 행연구[1, 4, 5, 16]를 바탕으로 수행되었으며 Jeong et al.[5]에서 제시한 내륙 컨테이너 운영 시스템의 불확실 성 요인을 반영하여 실무 환경을 고려한 데이터셋을 구 성하였다.

해당 데이터는 무작위로 생성한 후 제안된 Stackelberg 기반 수리모형의 구조에 맞춰 조정되었으며 이를 통해 Merged Free Time 정책의 전략적 타당성과 운영 효율성을 분석하고 기존 연구들과의 정량적 비교 및 모델 성능 검증 이 가능하도록 실험을 설계하였다.

한편, <Table 2>는 이러한 기준 시나리오(Benchmark scenario)를 바탕으로 제안된 최적화 해법을 적용한 해석 적 결과를 제시한 것으로 민감도 분석에 앞서 모델의 구조 적 반응과 작동 메커니즘을 점검한 실험 결과이다.

본 연구의 수치 실험은 Intel(R) Core(TM) i5-12400F (2.5GHz) CPU와 16GB RAM이 탑재된 환경에서 수행되 었으며 계산 환경은 Wolfram Mathematica 13을 활용하여 구성하였다. <Table 2>는 본 연구에서 제안한 최적화 해법 을 수치 실험의 결과값으로 민감도 분석 이전에 전략 변수 간의 구조적 반응과 모델의 작동 방식이 현실적으로 타당 하게 나타나는지를 검증하기 위한 목적을 가진다.

a= 0일, e= 1일, m= 2일, τ= 2일
p₁₂= 60달러/일, S = 100달러/일, R = 500달러
λ₁= 2.5일, λ₂= 2.5일, b= 10달러/일
h₁= 10달러/일, h₂= 10달러/일, h= 15달러/일
T₁,T₂= 20일, α= 2.4, β₁,β₂= 0.5

4.2 Sensitivity Analysis

본 연구에서는 주요 파라미터들이 선사 또는 화주의 이익 에 미치는 영향을 분석하기 위해 다양한 조건에서 민감도 실험을 수행하였다. 각 민감도 실험에서는 파라미터값의 변화 에 따라 모델 내 모든 결정변수와 목적함수 값을 Stackelberg 게임 기반 최적화를 통해 실험하여 분석하였다.

그러나 결과 제시는 결정변수 값보다 이익 함수의 민감 도 변화에 중점을 두었으며 이는 파라미터 변화가 선사․ 화주의 전략에 어떤 영향을 미치는지를 정책적 관점에서 직관적으로 해석하기 위함이다. 따라서 각 그래프에 제시 된 모델의 목적함수 값인 선사와 화주의 이익 함수 값은 해당 조건에서 새롭게 도출된 최적해 기반의 결과이며 이 는 모델의 정합성과 재현 가능성을 함께 확보하도록 설계 되었다. 민감도 분석에 포함되지 않고 실험 전반에 걸쳐 고정된 파라미터들의 값은 <Table 3>에 제시하였다.

4.2.1 컨테이너 반출/반입 도착률(λ)의 영향

λ는 지수분포 기반의 확률변수로 단위 시간당 평균 도 착률을 의미한다. 실험은 λ를 1에서 5.5까지 0.5 단위로 증가시켜 분석하였으며 λ증가에 따라 선사의 이익은 전반 적으로 감소하는 경향을 보였다. 이는 도착률이 높아질수 록 컨테이너 회전이 잦아지며 Free Time 관리가 복잡해지 고 운영 부담이 증가하는 데 기인한다. 반면, 화주의 이익 은 λ가 일정 수준 이하일 때 증가하다가 특정 수준 이상에 서는 이익이 감소하는 구간도 관찰되었다. 이는 도착률 증 가가 화주의 D&D 비용 예측 가능성을 개선하며 빠른 반 출 전략을 유도하는 요인으로 작용할 수 있음을 시사한다.

4.2.2 D&D 수익 환수 비율(α )의 영향

α는 선사가 D&D 요금을 통해 수익을 얼마나 환수하는 지를 나타내는 계수로 선사의 가격 전략 강도를 의미한다. 실험은 α를 0.1에서 2.4까지 0.2 단위로 증가시키며 수행 하였다. <Figure 4>에 나타난 바와 같이, α가 증가함에 따 라 선사의 이익은 선형적으로 증가하였다. 이는 요금 환수 수준이 높을수록 Free Time을 줄이고 요금 부과를 통해 수익을 극대화하는 전략을 택한다는 점을 의미한다. 반면, 화주의 이익은 α증가에 따라 급격히 감소하였다. 특히 α > 1 구간에는 이익 감소 폭이 완화되었는데 이는 일정 수준 이상의 부담은 고정비로 인식되어 화주의 전략적 반 응 폭이 줄어들기 때문으로 해석된다.

4.2.3 통합 D&D 요금(p₁₂ )의 영향

p₁₂는 실험 목적상 정의된 통합 D&D 요금 파라미터로 실험은 p₁₂를 20에서 200까지 20단위로 증가시키며 수행 하였다. 분석 결과는 <Figure 5>와 같이, p₁₂가 증가하면 선사의 이익은 일정 수준까지는 상승한 후 하락하는 비 대칭 곡선을 형성하였다. 이는 수익 극대화에 유리한 최 적 요금 구간이 존재하며 과도한 요금은 수요 위축을 유 발하여 전체 이익을 저하할 수 있음을 시사한다. 화주의 이익은 p₁₂증가에 따라 지속적으로 감소하였으며 요금 부담 증가가 직접적인 효용 저하로 연결됨을 보여준다.

4.2.4 수요 손실 기회비용 계수(b)의 영향

b는 과도한 요금 설정으로 인해 선사와 화주의 거래가 성립되지 않는 상황에서 선사가 입게 되는 손실(기회비용) 을 반영하는 계수이다. 본 실험에서는 b를 10에서 100까지 10단위로 증가시키며 분석하였다. <Figure 6>에서 확인할 수 있듯이 b증가에 따라 선사의 이익은 완만하게 감소하 였다. 이는 수요 이탈 가능성이 클수록 선사가 요금을 완 화하거나 Free Time을 확대하여 더욱 보수적인 전략을 택 하기 때문으로 해석된다. 화주의 이익은 b증가에 따라 상 승하였으며 특히, λ = 5, α = 3 조건에서 b ≥ 60구간부터 이익이 음에서 양으로 전환되는 현상이 나타났다. 이는 선 사 전략이 화주의 비용 부담을 줄이는 데 기여했음을 시사 한다.

4.2.5 컨테이너 기회비용(S )의 영향

S 는 선사가 컨테이너를 반출하지 못했을 때 잠재적인 손실로 발생하는 판매 상실 기회비용을 나타낸다. 본 실험 에서는 S 를 100에서 1000까지 100단위로 조정하여 그 영향 을 분석하였다. <Figure 7>을 보면 증가에 따라 선사의 이익 은 선형적으로 감소하였으며 이는 Free Time 단축을 통해 반출을 시도하더라도 회전 지연에 따른 손실이 누적되며 전체 수익성이 저하되는 구조임을 의미한다. 화주의 이익은 완만하게 증가하는 경향을 보였으며 특히 λ = 3, α = 5조건 에서 안정적인 효용 개선이 관찰되었다. 이는 선사의 보수 적 전략 전환이 화주에게 더 유리한 계약 조건으로 연결되 는 결과로 해석된다.

분석 결과, 각 파라미터의 변화는 선사와 화주의 전략 적 의사결정에 중요한 영향을 미치며 이는 최적 운영 정 책을 결정에 핵심적인 고려 요인으로 작용함을 확인할 수 있다.

5. Conclusion

본 연구는 기존의 Individual Free Time 정책이 가지는 한계를 극복하고자 이를 하나의 통합된 구조로 운영하는 Merged Free Time 정책을 제안하고 이에 대한 수리 최적 화 모델을 개발하였다. 특히, 컨테이너의 반출 및 반입 전 과정에 걸친 불확실성 요소를 반영함으로써 선사와 화주 양측이 운영 효율을 높일 수 있는 전략적 의사결정을 수행 할 수 있도록 모델을 구성하였다.

선사와 화주 간의 전략적 상호작용은 Stackelberg 게임 구조를 통해 수리적으로 반영되었으며 선사는 자신의 이 익을 극대화하기 위해 통합 Free Time을 설정하고 화주는 이에 따라 반출⋅반입 시점을 조정하여 비용을 최소화하 고 이익을 극대화하는 방향으로 의사결정을 수행하도록 모델링되었다. 이를 통해 상충하는 이해관계 하에서 균형 잡힌 Free Time 정책을 도출할 수 있도록 설계하였다.

수치 실험과 민감도 분석을 통해 컨테이너 도착률, D&D 요율, 보관 비용, 기회비용 등의 주요 파라미터 변화가 선사 와 화주의 이익 구조에 미치는 영향을 분석하였다. 분석 결과 전략 변수의 변화는 이익 함수의 방향성과 민감도에 유의미한 영향을 주며 이해관계자 간 효과적인 정책 수립을 위해 정교한 분석과 대응 전략이 필요함을 확인할 수 있었다.

본 연구는 이론적 수리모형 기반의 분석에 초점을 두고 있으며 실무 적용 가능성을 고려한 데이터 설정을 통해 정책 효과를 정량적으로 검토하였으나 실제 운영 자료를 활용한 실증 분석은 수행되지 않았다는 점에서 일정한 한 계를 가진다. 향후 연구에서는 실제 항만 운영 사례 데이 터를 활용한 실증 분석과 더불어 항만과 내륙 운송 간의 연계성을 반영한 모델 확장이 이루어질 필요가 있다. 이를 통해 Merged Free Time 정책의 실질적 운영 타당성과 정 책 설계 도구로서의 활용 가능성을 보다 정교하게 검증할 수 있을 것이다.

본 연구는 해운물류 공급망의 전략적 자원 운영과 D&D 요금 구조 개선을 위한 이론적 기반을 제공하였으며 실무 적인 정책 수립과 협상 전략 설계에 기여할 수 있을 것으 로 기대된다.

Acknowledgement

This work was supported by a Research Grant of Pukyong National University(2023).

Figure

<Figure 1>.

Diagram of Merged Free-Time Policy Model

<Figure 2>.

Solution Procedure under Merged Free Time Policy

<Figure 3>.

Changes in Carrier and Shipper Profits According to λ

<Figure 4>.

Changes in Carrier and Shipper Profits According to α

<Figure 5>.

Changes in Carrier and Shipper Profits According to p₁₂

<Figure 6>.

Changes in Carrier and Shipper Profits According to b

<Figure 7>.

Changes in Carrier and Shipper Profits According to S

Table

<Table 1>.

Studies Classified by Uncertainty Modeling, D&D Integration, and Strategic Decision Focus

Researcher(s)	Research Topic	Consideration of Uncertainty	D&D Integration	Game-Theoretic Approach Strategic Decision-Making	Distinctiveness
Song and Dong[12]	Route Optimization under Demand Uncertainty	O	X	X	Does not consider D&D policies
Long et al.[9]	Stochastic optimization in maritime logistics	O (SAA applied)	X	X	Lacks a D&D cost model
Yu et al.[16]	Detention charge decisions in inland transport	X	X	O (Carrier-Shipper game)	Limited practical implementation
Fazi and Roodbergen[1]	Mathematical modeling and comparison of D&D policies	X (Deterministic)	O	X	Fails to reflect operational uncertainty
Legros et al.[8]	Importer decisions under detention charges	△ (Reuse probability)	△ (Detention focused)	O (Shipper strategy reflected)	Demurrage not included
Jeong et al.[5]	Scenario-based analysis of demurrage policies	O (Three scenarios)	X	△ (Indirect pricing strategy)	Excludes the container pick-up process
Lee and Moon[7]	Robust optimization model for ECR reliability	O (Robust optimization)	X	X	Free time policy not considered
Xing et al.[15]	Optimization of tank container flows and demurrage	O (Maintenance scenarios)	△ (Demurrage focused)	X	No integrated D&D analysis
Jeong et al.[5]	Scenario-based optimization of separated D&D policies	O	O (Separated analysis)	O (Stackelberg policy model)	Lacks an integrated execution strategy
This Study	Optimization of Merged Free Time policy	O (Entire process: pick-up and return)	O (Fully integrated)	O (Integrated Stackelberg model)	Reflects integrated D&D cost optimization and strategic decision-making framework

<Table 2>.

Optimal Results under the Benchmark Scenario

	F*	ΠS (F* )	t1*	t2*	ΠC (t1* ,t2* )
Merged D&D model	10.5513	29.1502	2.4780	5.0000	99.5600

<Table 3>.

Fixed Parameter Values for Sensitivity Analysis

Reference

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a	0	h1, h2	10
e	2	h	15
m	1	T1, T2	20
τ	2	T	50
R	500	β1, β2	0.5