1. 서 론
모든 설비들은 계속적인 사용으로 인해 설비의 노후화 가 진행된다. 일부 설비 특성은 사용하지 않고 시간만 경 과하더라도 노후화는 진행된다. 설비의 노후화는 여러 열 화현상에 의해 진행되며, 이는 필연적으로 설비의 고장이 나 생산성 저하를 가져온다. 그러므로 특정 시점에서는 설비의 보전이 필요하게 된다. 고장의 경우 설비의 보전 은 해당 시점에서 필수적이다. 그러나 설사 고장이 아니 더라도 생산성 측면에서 수리나 재조정과 같은 설비의 보 전 또한 필요하다. 본 연구는 고장은 제외한 생산성 측면 에서의 보전 모형에 대한 것이다.
열화현상에는 여러 형태가 있는데, 이 현상이 심화됨 의해 해당 설비에서 생산하는 제품들은 설계상의 공정규격 으로부터 이탈이 발생하여 부적합품이 증가하며, 생산량 은 감소하여 공정의 생산성이 저하된다. 열화현상 중 한 가지인 마모가 진행되면, 제품의 품질특성치는 규격의 상 방이나 하방 중에서 어느 한 방향으로 이동하게 되는데, 이를 공정평균이동이라 한다. 마모가 진행되어 제품생산 에 많은 비용을 초래하는 일정 시점에서는 설비의 교체나 조정이 필요하게 된다. 이때, 공정운영에 들어가는 총비 용을 최소화하는 보전시기를 결정하는 문제를 ‘공정평균 이동 문제’라 한다.
총비용은 조정비용(혹은 교환비용), 부적합비용 그리 고 품질손실비용 등의 세 가지 항목으로 구성된다. 조정 비용은 생산을 중단하고 설비의 조정하거나 교환하는 비 용이며, 부적합비용은 제품이 상한규격이나 하한규격을 벗어나는 부적합품들에 의한 비용이며, 품질손실비용은 적합품들 중에서 품질특성치와 설계상의 공정목표값과 의 차이에 의한 비용이다. 총비용을 구성하는 세 가지 항 목은 모두 비용이다. 이들 중 조정비용은 일회성이며 마 모 정도와 무관한 상수이지만, 나머지 두 비용은 마모가 진행됨에 대해 증가한다. 그러므로 총비용을 최소로 하 는 보전시기는 생산을 하지 않는 경우가 되어 수리적 모 형이 성립하지 않는다. 그러므로 궁극적인 보전모형은 단위 시간당(혹은 마모당) 총비용을 최소화하는 보전시 기 결정 형태로 전환된다. 이 경우, 마모가 진행됨에 의 해 단위 마모당 감소하는 조정비용과 증가하는 부적합비 용 및 품질손실비용 간의 절속관계에 의해 단위 마모당 총비용을 최소화하는 최적 보전시기를 결정하게 된다.
공정평균이동 문제는 여러 방향으로 연구가 진행되어 왔다. 본 연구에서는 공정평균문제에서 이렇게 여러 방 향으로 진행되어 온 기존 연구들을 통합한 보전모형을 제시한다. 그러므로 우선 본 연구의 보전모형을 기존 연 구들의 모형의 틀에서 설명하면 다음과 같다. 첫째, 열화 정도를 나타내는 마모수준을 관측에 의해 직접 아는 경 우와 설비에 의해 생산된 제품들로부터 간접적으로 추정 하는 두 가지 경우가 있다. 본 연구는 측정으로 인해 마 모수준을 직접 알 수 있는 모형이다. 둘째, 망소특성이나 망대특성을 갖는 소수의 품질특성치를 제외한 대부분 제 품들의 경우, 상한과 하한의 양쪽 규격이 있는 망목특성 이 일반적이므로, 본 연구의 모형에서는 상한과 하한의 양쪽 규격을 설정한다. 셋째, 마모수준이 증가하면 공정 평균의 이동과 함께 조임이 풀려 공정분산의 증가함이 일반적이다. 그러므로 본 연구에서는 공정분산을 상수가 아닌 마모수준에 따른 함수 형태로 설정한다. 마모수준 에 대한 공정분산의 함수에 대해서는 3.1절에 설명했다. 넷째, 설비가 노후화 되면, 일정기간 동안 생산하는 제품 의 수량도 감소함이 일반적이다. 본 연구에서는 이러한 마모수준과 생산량 감소와의 관계를 모든 공정에 적용할 수 있는 일반화 함수를 설정한다. 생산량 함수에 대해서 는 3.2절에 그 전개과정을 서술했다. 마지막으로 적합품 에서 발생하는 품질손실비용에 있어서는 Cpm + 개념을 도입함으로써 규격 안에서 공정목표값에 미달한 경우와 초과한 경우를 구분하여 보다 일반화한 품질손실비용 모 형을 도입한다.
본 연구에서는 앞에서 언급한 다섯 가지 부분적인 모 형들을 모두 통합한 공정평균이동 문제에 대한 보전모형 을 제시함으로써, 실제 생산현장에서 발생하는 공정평균 이동 문제를 보다 더 현실적으로 해결할 수 있을 것이다.
2. 기존 연구
Manuele[14]는 연속되는 생산에 기인한 공구의 마모로 인해, 생산된 제품들의 품질특성치가 선형으로 변화하는 문제를 제기했다. 그리고 이 상황에 대해 전체 비용 측면 에서 수리적 모형을 제시하고 이를 최소화하는 모형을 제시했는데, 이것이 공정평균이동 문제의 최초 논문이다.
Manuele[14] 이후 초기 연구들에서는 현재 같은 측정 센서들의 미비로 인해, 마모수준을 직접 알 수 없는 경우에 대한 보전모형들이 주로 소개되었으며, Quesenberry[16], Schneider[18] 등은 생산한 제품의 특성치를 측정하여 관 리도나 회귀모형을 사용하여 마모수준을 간접적으로 추 정했다.
이어 소개하는 연구들은 마모수준을 알 수 있는 경우 에 대한 연구들로서 다음과 같다. 부적합비용항목에 있 어, 규격에 대한 설정 기준으로 Gibra[5]는 한쪽 규격만 설정했으며, Kamat[7]는 Gibra[5]의 연구를 확장하여 양 쪽 규격의 모형을 제시했다. 본 연구의 보전모형도 양쪽 규격에 해당한다. 손실함수를 도입한 연구로는 다구찌 손 실함수와 규격상한을 적용한 Rahim과 Tuffaha[17] 연구 가 있다. 이 후 Bolyes[3]가 다구찌의 2차 손실함수를 목 표값을 중심으로 비대칭인 Cpm +로 확장한 이후, 이를 품질 손실비용에 적용한 모형으로는 Chen[4], Makis[13], Ahn 과 Jang[1] 그리고 Lee[8]의 연구가 있다. 본 연구에서도 Cpm + 기준의 품질손실함수를 사용한다. 이 전의 연구들 은 단위 마모당 생산량을 상수로 설정하거나 계단함수로 처리했으나, Lee와 Park 등[12]은 마모수준 증가에 대해 생산량이 정규분포를 따르는 경우를 제시했다. 그러나 생 산량이 정규분포처럼 마모수준 증가에 대해 증가하다가 감소한다는 설정은 현실적으로 거의 부합하지 않는다. 이 에 Lee[10]는 마모당 생산량의 모든 변화를 나타낼 수 있 는 일반 함수를 제시했다. 본 연구에서는 생산량의 변화 에 대해 Lee[10]의 일반화 함수를 보전모형에 도입한다. 마모수준에 대한 공정분산의 변화에 대한 모형에 있어서 대부분 공정분산을 상수로 처리했으나, Arcelus 등[2]은 조정기간 안에서 몇 단계의 마모구간을 설정하고, 공정분 산이 마모 구간별로 알려진 상수라고 설정한 모형을 제시 했다. 이후 Lee[11]는 마모수준의 증가에 대해 공정분산 이 concave하게 증가하는 함수인 모형을 제시하여 공정분 산에 대한 모형을 일반화했다. 본 연구에서는 공정분산의 변화에 대해 Lee[11]의 모형을 도입한다.
3. 모형의 구성
3.1 마모수준과 부적합률
설비를 사용할수록 마모와 같은 설비의 열화현상이 진 행된다. 그러므로 제품의 품질특성치를 X라 할 때, X는 당연히 마모수준에 영향을 받는다. 마모수준을 w로 나타 낼 때, w에서 생산된 품질특성치를 Xw로 표시하기로 한다. 공정이 안정되어 있을 때, Xw는 정규분포를 따른다. w에서 의 공정평균을 μ(w )로 나타낼 때, μ(w )는 식 (1)과 같다.
식 (1)의 μI는 w가 설비의 보전시기인 마모한계 wl에 도달했을 때, 보전조치(조정이나 교환) 후의 초기 공정평 균이다. μI를 설계상의 공정목표값인 m으로 설정할 수 도 있으나, 앞으로 진행될 마모에 대해 미리 이를 반영하 여 μI를 m보다 작게 설정함으로써, 보전기간 동안의 평 균 부적합률을 낮출 수 있다. 그러므로 μI는 본 모형의 결정변수인 보전시점의 마모수준 즉, 마모한계 wl과 더 불어 다른 하나의 결정변수다. 마모에 의한 제품의 영향 에 대해 Park 등[15]은 마모에 대한 가공결과가 피삭재와 절삭공구(인서트 팁)의 상대적 강도와 회전속도, 이송속 도 등에 의해 영향을 받음을 제시했다.
부적합률을 계산하기 위해서는 평균 μ(w )이 외에 정 규분포의 다른 매개변수인 분산이 필요하다. 마모수준이 증가하면 공정평균의 이동과 함께 유격의 증가로 인해 공 정분산의 증가함이 일반적이다. 이에 대해 Lee[11]는 절 삭공정에서의 실측자료를 분석하여, w에서의 공정분산 σ2 (w )를 식 (2)의 함수로 나타내었다.
식 (2)에서 는 설비의 초기 분산 즉, 마모가 진행되 기 전의 공정분산으로 설비의 고유 정밀도다. α는 척도 모수이며, β는 concave한 증가를 나타내기 위한 형상모 수다. 따라서 Xw는 식 (3)의 정규분포를 따른다. 공구의 초기위치가 μI이고 마모수준이 w일 때, 제품의 공정 부 적합률 P (w, μI )를 식 (4)에 나타냈다. 식 (4)에서 SL은 규격하한(LSL : lower specification limit)이며, SU는 규격 상한(USL : upper specification limit)이다.
3.2 부적합품 비용
보전구간 [0 ∼ wl ]에서의 전체 부적품비용을 산출하기 위해서는 P (w, μI )와 함께 w에서 생산한 제품량이 필요 하다. 열화현상에 의해 단위 마모당 제품 생산량 또한 영 향을 받는다. 일반적으로 마모 증가할수록 생산량은 감 소하며, 감소 형태는 해당 공정의 특성에 의해 다양한 형 태를 취할 수 있다. w에서의 제품 생산량을 g (w )로 나 타낼 때, Lee[10]는 이 관계를 식 (5)의 함수로 제시했으 며, 이를 <Figure 1>에 나타내었다. <Figure 1>에서 l0는 공정을 조정한 직후 즉, 마모가 진행되지 않은 w = 0에 서의 단위 마모당 제품 생산량이다.
식 (5)의 γ는 척도모수로서 γ = 0인 경우는 생산량이 마모수준에 영향을 받지 않는 기존의 연구들과 동일한 모 형이 된다. δ는 형상모수이며, δ값의 범주에 따라 g (w )는 ①, ② 그리고 ③의 다양한 모습을 취한다. μI 및 w하에서 의 제품 부적합비용을 Cd (w, μI )로 나타낼 때, Cd (w, μI ) 는 P (w, μI )와 g (w ) 그리고 단위 부적합품당 처리비용 D 의 곱으로 계산되며, 식 (6)과 같다.
마모한계(보전시기)를 wl이라 할 때, 구간 [0 ∼ wl ]에 서 발생하는 총부적합비용은 w에 대한 Cd (w, μI )의 누 적 기댓값이며, 식 (7)과 같다.
구간 [0 ∼ wl ]에서의 총부적합비용
3.3 품질손실비용
‘규격을 만족하는 적합품들은 비용이 발생하지 않는 다.’는 기존 개념에서 벗어나, 적합품이더라도 설계상의 공정 목표값 m과 품질특성치와의 이격 수준을 비용으로 전환한 것이 품질손실비용이다.
3.3.1 공정능력지수와 품질손실함수
손실함수 개념은 공정능력지수에서 비롯되었다. 공정 능력지수는 실제 공정산포와 설계상 허용 가능한 공차를 비교한 수치이며, 해당 공정이 주어진 규격을 어느 정도로 충족하는지를 나타내는 지수이며 공정 정밀도의 개념이 다. 공정능력지수는 Juran[6]이 최초로 제시했다. 그는 품 질특성치의 표준편차의 6배를 자연공차로 지칭하고, 이를 사용한 Cp라는 공정능력지수를 제시했으며 식 (8)과 같다. Cp 발표 이 후, 치우친 정도나 산포의 상황을 지수에 반영 하는 Cpk , Cpm 그리고 Cpm + 등의 다양한 공정능력지수 들이 발표되어 왔다.
이러한 규격대비 공정의 변동을 비용화한 것이 다구 찌의 품질손실비용이다. 품질특성치를 Xw에 대한 다구 찌의 손실비용 L (Xw )는 식 (9)와 같다.
식 (9)에서 m = (LSL + USL )/2이며, k는 공정의 특성 에 해당하는 비용계수다.
3.3.2 Cpm +와 품질손실비용
식 (9)의 손실비용함수는 m을 기준으로 Xw가 m를 미 달하거나 초과함에 무관한 좌우 대칭형 함수다. 식 (9)의 손실비용함수는 m을 중심으로 비대칭의 경우를 반영할 수 없다는 점과 Xw가 LSL 혹은 USL 값과 동일할 때 부 적합 처리비용 D에 비용계수 k를 반드시 일치시켜야하 는 단점이 있다.
이에 반해 본 연구에서 도입하는 Cpm +는 미달 혹은 초 과의 결과에 따라 비용계수 k를 달리하는 공정능력지수다. 따라서 Cpm +는 좌우 비대칭 경우도 반영할 수 있으며, 비 용계수 또한 D로부터 자유로운 공정능력지수로서 식 (10) 과 같다. Cpm +를 적용한 1개 적합품 X의 손실비용 L (X, m )은 식 (11)과 같으며, <Figure 2>에 나타내었다.
식 (11)에 의해 마모수준 w에서 1개 적합품 Xw에 의한 품질손실비용은 L (Xw, m )로 나타낼 수 있다. 그러나 Xw 는 정규분포를 따르는 확률변수이므로, 모형에서의 1개 적합품당 품질손실비용은 L (Xw, m )의 기댓값이 되어야 하며, 식 (12)와 같다.
그러므로 생산량 g (w )를 고려한 마모수준 w에서의 품 질손실비용은 g (w ) [L (Xw, m )]이다. 구간 [0 ∼ wl ]에서 발 생하는 총품질손실비용은 w에 대한 g (w ) [L (Xw, m )]의 누 적이므로 식 (13)으로 표현할 수 있다.
3.4 Cpm +를 적용한 최종 보전모형
보전구간 [0 ∼ wl ]에서 발생하는 전체 비용 TC (wl, μI )는 식 (7)의 총부적합비용, 식 (13)의 총품질손실비용 그리 고 마모수준과 무관한 상수인 1회 보전비용 H의 합으로 구성된다. 이 때, 모형의 전체비용 TC (wl, μI )는 다음 식 (14)와 같다.
전체 비용 TC (wl, μI )는 비용만의 함수이므로 이를 최 소화 보전시기는 wl = 0이 되므로 수리적 모형이 성립하 지 않는다. 조정비용 H와 나머지 두 비용간의 절속관계 가 존재하여 모형이 성립하기 위해서는 TC (wl, μI )를 마 모한계로 나누어 단위 마모당 전체 비용 TC (wl, μI ) /wl 을 최소화하는 모형으로의 전환이 필요하다. 그러므로 모 형의 최종 목적식은 식 (15)가 되며, 이때 결정변수는 식 (15)를 최소화하는 마모한계 wl과 초기 공구조정위치 μI 다. 앞서 언급한 모든 사항들을 모두 통합한 보전모형은 다음과 같다.
4. 결 론
본 연구는 공정평균이동 문제에 대한 것이다. 본 연구 에서는 기존 연구들에서 지금까지 부분적으로 진행되어 온 여러 모형들을 통합한 보전모형을 제시했다.
본 보전모형에서는 마모수준의 증가에 대해 생산량이 상수가 아닌 감소함을 반영할 수 있는 함수 g (w )를 도입 했다. 공정분산에 대해서도 상수가 아닌 마모수준에 대해 함수 σ2 (w )로 설정함으로써 실제 가공공정을 반영할 수 있도록 했다. 특히 품질손실비용에 대해 Cpm + 개념을 도 입하여, 품질특성치가 공정 목표값에 미달하거나 초과하 는 경우에 대해 각기 달리 적용하게 함으로써 보다 실제 현장의 특성을 반영할 수 있도록 했다. 이렇게 생산 현장 에서 발생하는 다양한 제반 상황들을 통합한 모형을 제시 함으로써, 현장에서는 본 연구의 보전모형을 바로 적용할 수 있을 것으로 생각한다.
목적식 TC (wl, μI ) /wl을 최소화하는 두 개의 결정변수 wl과 μI가 존재함에 대해 이론적으로 증명할 수는 없다. 증명이 불가한 이유는 목적식에 적분불능 함수인 정규분 포가 포함되어 있는 점과 보전구간 [0 ∼ wl ]에서 목적식이 상한규격과 하한규격을 기준으로 미분 불가한 계단함수 이기 때문이다.
추후 연구에서는 본 연구에서 상수로 처리한 보전비 용을 마모수준에 대해 함수화 함으로써 보다 정교한 보 전모형을 생각할 수 있으며, 크게는 전체 모형에 고장률 을 도입한 보전모형으로도 전개도 가능하리라 생각한다.
