1. 서 론

컴퓨팅 서비스나 통신 네트워크 시스템의 성능 분석 에 대기행렬 모형이 흔히 이용된다[3, 9]. 이러한 시스템 의 분석에서 중요한 성능평가지표 중 하나가 서버의 바 쁜 기간(busy periods)이다. 서버의 바쁜 기간이란, 서버 가 유휴(idle) 상태에 있다가 고객에 대한 서비스를 시작 한 시점부터 다시 유휴 상태가 될 때까지의 기간이다. 일 반적으로 서버의 바쁜 기간의 길이와 바쁜 기간의 발생 빈도 등은 시스템 운영비용 등과 밀접하게 연관되어 있 다. 그렇기 때문에 다양한 대기행렬 모형에 대해 바쁜 기 간에 대한 연구가 활발히 수행되었다.

본 연구에서는 단일 휴가를 떠나는 Geo/Geo/1/K 대기 행렬 모형의 바쁜 기간을 분석한다. 무한용량 단일서버 대기행렬의 바쁜 기간은 Galton-Watson 분기과정(branching process)의 구조를 가지므로 비교적 쉽게 분석할 수 있다 [6, 18, 19]. 반면 유한용량 단일서버 대기행렬의 바쁜 기 간은 더 복잡한 분석이 필요하다. 유한용량 단일서버 대 기행렬은 연속시간 모형과 이산시간 모형으로 나눠볼 수 있는데, 연속시간 모형의 바쁜 기간에 대한 연구는 비교적 많이 수행되었다. M/M/1/K 모형의 바쁜 기간에 대한 연 구는 Al Hanbali and Boxma[1]와 Takagi and Tarabia[17], 그리고 그 안의 참조문헌에서 확인할 수 있다. 근래 들어 PH/PH/1/K 모형의 바쁜 기간에 대한 연구가 수행되기도 하였다[2]. 비마코비안 모형인 M/G/1/K 모형의 바쁜 기간 에 대한 연구로는 [6, 7, 10, 13-16] 등이 있다.

이에 반해 유한용량 이산시간 대기행렬의 바쁜 기간 에 대한 연구는 매우 드물어 Chaudhry and Zhao[4]와 Yu and Alfa[21] 등이 관련연구라 할 수 있다. 이산 시간 대 기행렬 모형은 시분할 통신 시스템 등의 성능 분석에 연 속시간 대기행렬 모형보다 더 적합한 도구임에도 불구하 고 이에 대한 연구의 진척이 크지 않았던 이유는, 연속시 간 대기행렬에 비해 유한용량 이산시간 모형은 다루는데 좀 더 까다로운 요소가 있기 때문이다. 연속시간 모형에 서는 고객의 도착과 서비스의 종료, 그리고 휴가의 시작/ 종료 등이 동일 시점에 발생할 확률은 0으로 수렴한다. 반면 이산시간 모형에서는 고객의 도착, 서비스의 종료, 휴가의 시작/종료 등이 동일 슬롯에서 발생할 가능성이 있다[3, 19]. 따라서 한 슬롯에서 이 사건들이 동시에 발 생할 때 발생 순서에 따라 바쁜 기간의 길이의 분포가 달라질 수 있다. 시스템이 고객으로 가득 차 있을 때, 한 슬롯에서 고객의 도착과 서비스 종료가 이루어졌다고 하 자. 만약 한 슬롯에서 두 사건이 동시에 발생할 때 고객 도착이 서비스 종료 앞에 처리된다면(LAS 모형이라 한 다. 상세 정의는 2장 참조) 해당 고객은 시스템이 가득 차 있기 때문에 시스템에 입장하지 못하고 손실될 것이 다. 반면 해당 슬롯에서 서비스 종료 뒤에 고객 도착이 처리된다면(EAS 모형이라 한다. 상세 정의는 2장 참조) 방금 서비스 종료된 고객으로 발생한 여유 공간에 도착 한 고객이 입장할 수 있게 된다. 또한 슬롯 내에서 발생 하는 고객 도착과 휴가의 시작/종료 시점의 선후관계도 시스템의 유휴기간(idle period)의 길이와 유휴기간 종료 시점의 고객수에 영향을 주어, 결국은 바쁜 기간의 분포 에 영향을 미칠 수 있다.

최근 Yu and Alfa[21]는 다중 휴가(multiple vacations) 를 가지는 Geo/Geo/1/K 대기행렬의 바쁜 기간에 대한 연 구를 수행하였다. 이 연구는 연속시간 휴가형 대기행렬 에만 주로 적용되었던 바쁜 기간에 대한 분석을 이산시 간 휴가형 대기행렬로 확장하였다는 데 의의가 있다. Yu and Alfa[21]는 연속시간 모형과 다른 이산시간 모형의 특성인 한 슬롯에서 사건의 순서를 고려하여 다중 휴가 를 떠나는 Geo/Geo/1/K 모형의 바쁜 기간의 분포에 대한 재귀식을 구하였다. 또한 재귀식의 해를 구하기 위하여 크래머 공식(Cramer’s rule)을 이용하여 명시적으로 해를 구하였다.

서버 휴가가 있는 대기행렬 모형은 서버가 유휴기간 에 별도의 작업을 해야 하는 시스템의 성능 분석에 많이 이용된다[19]. 휴가형 대기행렬 모형의 대표적인 응용분 야로는 한 서버가 여러 종류의 작업을 동시에 수행하는 우선순위 대기행렬이나 폴링 시스템의 성능 분석을 들 수 있다. 이 경우 특정 종류의 작업에 대한 시스템의 성 능 분석을 할 때, 서버가 다른 종류의 작업을 수행하는 기간을 서버 휴가로 간주하여 분석을 수행할 수 있다.

대표적인 휴가 모형이 다중 휴가와 단일 휴가(single vacation) 모형이다. 다중 휴가 모형에서는 시스템에 고 객이 없으면 서버는 일정 시간 동안 휴가를 떠난다. 휴가 를 다녀온 후에도 시스템이 비어 있으면 다시 휴가를 떠 나고, 이를 휴가 종료 시점에 고객이 있을 때까지 반복한 다. 반면 단일 휴가 모형은 시스템에 고객이 없으면 서버 는 한 번의 휴가만 다녀온다. 휴가 종료 시점에 고객이 있으면 서비스를 시작하고 없으면 더 이상 휴가를 가지 않고 고객이 올 때까지 기다린다. 일반적으로 단일 휴가 모형은 휴가 종료 시점에 바쁜 기간이 시작되는 경우와 그렇지 않은 경우가 있으므로 다중 휴가 모형보다 고객 수 분포나 바쁜 기간 분포를 도출하는 과정이 조금 더 복잡하다.

본 연구는 Yu and Alfa 연구를 단일 휴가를 떠나는 Geo/Geo/1/K 대기행렬의 바쁜 기간 분석으로 확장한다. 본 연구와 Yu and Alfa의 연구는 서버의 휴가 형태가 서 로 다르다는 점뿐 아니라 다음과 같은 차이점도 가진다. 첫째, Yu and Alfa의 연구에서는 바쁜 기간의 길이의 분 포만을 제시한 반면, 본 연구에서는 바쁜 기간의 길이와 함께 바쁜 기간 동안 도착하여 시스템에 입장하는 고객 수와 손실되는 고객수 분포를 함께 구하였다. 이를 이용 해 바쁜 기간의 길이뿐 아니라 전체 주기에서 고객 손실 률을 함께 분석하였다. 둘째, Yu and Alfa의 연구에서는 한 슬롯에서의 사건의 발생순서가 서비스 종료, 고객 도 착, 휴가 시작인 모형(EAS 모형)만을 다루었으나, 본 연 구에서는 위의 사건의 순서가 다른 2가지 모형(EAS와 LAS 모형)에서의 바쁜 기간의 분포를 구하고, 각 모형의 차이를 분석하였다. 셋째, Yu and Alfa의 연구에서는 바 쁜 기간의 분포를 구하기 위해 바쁜 기간에 발생하는 첫 번째 서비스 종료시점의 사건을 조건 걸기(conditioning) 하여 재귀식을 구한 후 크래머 공식으로 해를 구한 반면, 본 연구에서는 바쁜 기간의 첫 번째 시간 슬롯에서 발생 하는 사건에 조건 걸기를 하여 재귀식을 구한 후 등비/ 등차수열의 관계를 이용하여 바쁜 기간의 해를 구하였 다. 이렇게 하면 이산시간 모형의 특성을 이용하여 동일 한 결과를 좀 더 단순하고 직관적인 방법으로 얻을 수 있다.

이 논문의 구성은 다음과 같다. 제 2장에서는 바쁜 기 간을 구할 대기행렬 모형을 상세히 정의한다. 제 3장에 서는 바쁜 기간을 분석 하기 앞서서 유휴기간의 길이와 유휴기간에 도착하는 고객수의 결합분포를 분석한다. 제 4장에서는 바쁜 기간의 길이와 바쁜 기간 동안 서비스 받는 고객수의 결합분포를 분석한다. 제 5장에서는 수치 예제를 이용하여 시스템 매개변수가 변할 때 바쁜 기간 의 기대치가 어떻게 변화하는지 살펴본다. 이를 통해 EAS와 LAS 모형의 성능 차이를 분석하고 시스템 분석 가에게 주는 시사점을 논한다. 마지막으로 제 6장에서 본 연구의 결과를 종합하고 향후 연구 방향에 대하여 논 한다.

2. 모형

본 연구에서는 단일 휴가를 떠나는 이산 시간 Geo/ Geo/1/K 대기행렬 모형을 다룬다.

이 모형에서 시간 축은 단위 길이의 시간 슬롯으로 분 할된다. 따라서 시간 슬롯의 경계는 t = 0, 1, 2, ⋯로 나 타낼 수 있으며, t번째 시간 슬롯은 (t - 1, t]동안의 기간 이 된다. 그리고 슬롯 경계의 직전과 직후를 다음처럼 표 현한다.

고객의 도착은 시간 슬롯 경계에서 발생한다고 가정 한다. 고객의 도착과정은 확률이 λ인 베르누이 과정을 따른다. 단, 고객 도착 간격이 무한대가 되는 것을 제외 하기 위해 도착 확률은 0보다 크다고 가정한다. 즉, 0 < λ ≤ 1. 따라서 한 시간 슬롯에서 고객이 도착하지 않을 확률은 λ = 1 - λ가 되고, 0 ≤ λ < 1이다. 각 슬롯의 고 객 도착 확률은 동일하고 서로 독립이다. 따라서 고객 도 착 간격 X의 확률질량함수는 다음과 같다.

시스템에 서버는 한 명이다. 고객에 대한 서비스의 시 작과 종료도 슬롯 경계에서 이루어지며, 서비스 시간 Y 는 고객 간에 서로 독립이고 성공확률 μ의 기하분포를 따른다.

단, 0 < μ ≤ 1, 0 ≤ μ = 1 - μ < 1.

시스템의 용량은 서비스 중인 고객을 포함하여 K이며 (K ≥ 2), 고객 도착 시점에 시스템이 고객으로 가득 차 있 으면 도착한 고객은 시스템에 입장하지 못하고 손실된다.

서버는 시스템에 고객이 있으면 고객이 모두 서비스 를 받고 나갈 때까지 계속 서비스를 수행한다. 서비스를 수행하다 더 이상 시스템에 고객이 없으면 휴가를 떠난 다. 휴가의 시작과 종료는 슬롯 경계에서 이루어지며, 휴 가 기간 V는 성공확률 θ의 기하분포를 따른다.

단, 0 < θ ≤ 1, 0 ≤ θ = 1 - θ < 1. 휴가 종료 시점에 고객 이 시스템에 있으면 서버는 서비스를 시작하며, 고객이 없으면 고객이 도착할 때까지 시스템에서 기다린 후 고 객이 도착하면 서비스를 시작한다. 고객의 도착과정, 서 비스 시간, 휴가 시간의 분포는 모두 서로 독립이다.

이산시간 대기행렬 모형은 서비스 시작/종료, 고객 도 착, 휴가 시작/종료가 모두 슬롯 경계에서 발생한다. 그 리고 슬롯 경계에서 발생하는 이러한 사건의 발생 순서 에 대한 가정에 따라 서로 다른 이산시간 모형이 된다. 슬롯 경계에서 서비스 종료와 고객 도착이 동시에 발생 할 때, 서비스의 종료가 고객의 도착보다 앞서 발생한다 고 가정하는 모형을 통상 EAS(Early Arrival System) 모 형이라고 한다[19, p. 8]. EAS라고 하는 이유는 이 모형 에서는 서비스 종료가 슬롯 경계 t에서 발생할 때, 그 바 로 직후 (t, t⁺) 시점-즉, 다음 슬롯의 가장 빠른 시점-에 고객이 도착하는 것으로 가정하기 때문이다(<Figure 1> (a) 참조). EAS는 이탈 선행 정책(departure first policy)이 라고도 말한다[8]. 반면 슬롯 경계에서 고객 도착이 서비스 종료보다 앞서 발생한다고 가정하는 모형을 통상 LAS (Late Arrival System) 모형이라고 한다[19, p. 4]. LAS라 고 하는 이유는 이 모형에서는 서비스의 종료가 슬롯 경 계 t에서 발생할 때, 그 바로 직전 (t^-, t)시점-즉, 직전 슬롯의 가장 늦은 시점-에 고객이 도착하는 것으로 가정 하기 때문이다(<Figure 1>(b) 참조). LAS는 도착 선행 정 책(arrival first policy)이라고 말한다[8]. 서비스의 시작은 EAS나 LAS나 모두 고객 도착 직후를 가정한다. 그러면 슬롯 경계 t에서 도착한 고객은 (t, t + 1] 슬롯부터 서비 스를 받을 수 있기 때문이다. Yu and Alfa[21]를 포함하 여 휴가형 이산시간 대기행렬 모형의 대부분은 슬롯 경 계에서 발생하는 휴가의 시작과 종료가 고객 도착과 서 비스 종료 이후에 발생한다고 가정한다. 우리의 모형도 이 가정을 따르도록 한다.

Yu and Alfa[21]의 연구는 EAS 모형 하에 바쁜 기간을 연구하였는데, 본 연구에서는 EAS와 LAS 모형 모두에 대하여 바쁜 기간 분석을 수행한다. <Figure 1>은 LAS와 EAS 모형에서 서비스 종료, 고객 도착, 휴가 시작/종료가 동일 슬롯 경계에서 발생할 때의 시간상에서의 선후행 관 계를 보여준다.

3. 유휴기간 분석

이 장에서는 바쁜 기간 분석에 앞서 유휴기간에 대한 분석을 수행한다. 이 장의 결과는 4장의 바쁜 기간 분석 에 사용될 것이다.

유휴기간을 분석하기에 앞서 휴가기간과 휴가기간 동 안 도착한 고객수에 대한 분석을 먼저 하자. 시스템에서 고객이 모두 떠나가면 서버는 길이가 V인 휴가를 떠나 게 된다. A (V)를 휴가기간 동안 도착한 고객수, A^a(V ) 를 휴가 동안 도착하여 시스템에 입장한 고객수, A^b(V ) 를 휴가 동안 도착하였으나 시스템이 가득 차서 손실된 고객수라고 하자. 그러면 A (V ) = A^a(V ) +A^b(V )이 성립 한다.

또한 시스템 용량이 K이기 때문에 다음이 성립한다.

확률변수 V , A^a(V ) , A^b(V )에 대한 결합 변환 V (u, z, w )를 다음과 같이 정의하자.

그러면 다음과 같은 관계식이 성립한다.

마지막에서 두 번째 행의 결과는 다음과 같은 이항계수 의 성질을 이용하였다[20, p. 16].

마지막 행의 무한급수의 결과는 다음 관계가 만족되기 때문에 성립한다.

이고

이므로

(1)에 z = w = 1을 대입하면 V의 PGF(Probability Generating Function)가 된다.

(1)에 w = z을 대입하면 V와 A (V )의 결합변환이 된다.

이제 휴가기간에 대한 분석 결과를 이용하여 유휴기 간의 길이와 그 동안 도착한 고객수를 분석해 보자. I를 유휴기간의 길이, A^a(I )를 유휴기간 동안 도착하여 시스 템에 입장한 고객수, A^b(I )를 유휴기간 동안 도착하였으 나 시스템이 가득 차서 손실된 고객수라고 하자. 이 세 확률변수에 대한 결합 변환 I (u, z, w )를 다음과 같이 정 의하자.

A (I )는 유휴기간 동안 도착한 고객으로 A (I ) = A^a(I ) +A^b(I )이다.

단일 휴가 정책 하에서는, 서버가 휴가에서 돌아온 후 시스템에 고객이 있으면 유휴상태를 끝내고 서비스를 시 작하고, 그렇지 않으면 고객이 도착할 때까지 기다린다. 후자의 경우 잔여 고객 도착 시간은 베르누이 과정의 무 기억 속성에 의해 원래의 고객 도착 시간 X와 동일한 분포를 가진다. 따라서 다음의 관계가 성립한다.

그러므로,

위 식에 (1)의 결과를 대입하면 다음 식을 얻는다.

(2)에 z = w = 1을 대입하면 I의 PGF가 된다.

또한 (2)를 u, w, z로 각각 한번 미분한 후 u = z = w = 1 을 대입하면 다음 결과를 얻는다.

아울러 (2)에 u = w = 1을 대입하면 A^a(I )의 PGF가 된다.

I (1, z, 1)는 PGF이므로 z의 계수를 취하면 A^a(I )의 확 률분포를 다음과 같이 얻는다.

단, η =θλ/(1 -θλ)이고 2 ≤ n ≤ K - 1. 또한 (7)과 (8)에 서 다음 식을 얻는다.

위의 확률은 다음 장에서 바쁜 기간 분석에 사용될 것 이다.

4. 바쁜 기간 분석

단일 휴가를 가지는 Geo/Geo/1/K 모형의 바쁜 기간의 분포를 구하기 위하여 Yu and Alfa[21]와 마찬가지로 n 명의 고객으로 시작하는 Geo/Geo/1/K의 바쁜 기간 B_n의 분포를 먼저 구하도록 한다. 단, 1 ≤ n < K . B₁은 한 명의 고객으로 시작하는 바쁜 기간이므로 휴가가 없는Geo/ Geo/1/K의 표준적인 바쁜 기간이 된다. 그리고 A^a(B_n )과 A^b(B_n )을 바쁜 기간 B_n 동안 도착하여 시스템에 입장한 고객수와 도착하였으나 손실된 고객수라고하자. 따라서 A (B_n ) = A^a(B_n ) +A^b(B_n )은 바쁜 기간 B_n 동안 도착한 총 고객수가 된다.

B₁ , A^a(B₁ )과 A^b(B₁ )의 분포를 구하기 위하여 바쁜 기간의 첫 슬롯에서 발생하는 사건을 고려해보자. 바쁜 기간의 각 슬롯에서는 고객 도착과 서비스 종료라는 사 건이 발생할 수 있으므로, 첫 슬롯에서 발생할 수 있는 사건의 모든 조합은 다음과 같다.

따라서 δ_A와 δ_S를 각각 첫 슬롯에서 고객 도착과 서비 스 종료의 발생 여부를 나타내는 지시변수라고 하면, 첫 슬롯의 발생 사건의 조합에 따라 B₁ , A^a(B₁ ) , A^b(B₁ )에 대한 다음의 관계가 성립한다.

마찬가지로 바쁜 기간 B_n의 첫 슬롯에 발생하는 사건 을 고려하면 2 ≤ n ≤ K - 1을 만족하는 n에 대하여 다음 이 성립한다.

바쁜 기간 B_K의 관계식은 EAS인지 LAS 모형인지에 따라 달라진다. 첫 슬롯에서 서비스 종료 없이 고객만 도 착하면 시스템이 가득 차 있으므로 EAS와 LAS 모형 모 두에서 고객 손실이 발생한다. 따라서 첫 슬롯 이후에도 시스템에는 K명의 고객이 존재한다. 그러나 고객 도착 과 서비스 종료가 동시에 발생하면, EAS는 서비스 종료 후 고객 도착이 처리되므로 도착한 고객이 입장하여 첫 슬롯 직후 K명의 고객이 시스템에 있지만, LAS에서는 고객 도착이 먼저 처리되므로 도착한 고객은 손실되고 첫 슬롯 직후 K - 1명의 고객이 시스템에 존재한다. 따라 서 다음 관계식이 성립한다.

B_n , A^a(B_n ) , A^b(B_n )의 결합변환을 다음과 같이 정의하자.

그러면 위의 관계식에 의해 다음 결과를 얻는다.

식 (10)~ 식 (12)에 z = w = 1을 대입하면, 바쁜 기간의 첫 서비스 종료 시점에 조건을 걸어 바쁜 기간의 길이의 PGF 에 대한 관계식을 구한 Yu and Alfa[21]의 식 (1)과 (2)와 동일한 결과를 얻을 수 있다. Yu and Alfa[21]의 식 (1)과 (2)의 유도과정과 비교해 보면 이 논문의 식 (10)~식 (13) 의 유도 과정이 좀 더 단순하다.

β_n을 다음과 같이 정의하자.

식 (10)~식 (13)을 u로 한번 미분한 후 u = z = w = 1을 대입하여 정리하면 다음 관계식을 얻는다.

단, ρ = λ μ ¯ / λ ¯ μ. 그리고 식 (14)를 n = K에서 1까지 차례 로 대입해 나가면 다음 결과를 얻는다.

E [ B m ] = ∑ m = 1 n β m 이므로 식 (17)을 n = 1에서 n = K까지 축 차적으로 더한 후 (15)를 대입하면 EAS 시스템에서의 B_n 에 대한 기대치를 다음과 같이 구할 수 있다(1 ≤ n ≤ K ).

식 (18)은 Yu and Alfa[21]의 Theorem 1과 식 (10)과 동일 한 결과이다. 또한 식 (17)과 식 (16)을 이용하면 LAS 시 스템에서의 B_n에 대한 기대치를 다음과 같이 구할 수 있 다(1 ≤n ≤ K ).

다음으로 α n a 을 다음과 같이 정의하자.

식 (10)~(13)을 z로 한번 미분한 후 u = z = w = 1을 대입 하여 정리하면 A^a(B_n )의 기대치에 대한 다음 관계식을 얻는다.

그리고 (20)을 n = K에서 1까지 차례로 대입해 나가면 다음 식을 얻을 수 있다.

E [ A a ( B n ) ] = ∑ m = 1 n α m a 이므로 식 (23)을 n = 1에서 K까지 축차적으로 더한 후 식 (21)을 대입하면 EAS 시스템에 서의 A^a(B_n )에 대한 기대치를 다음과 같이 구할 수 있 다(1 ≤ n ≤ K ).

마찬가지로 식 (23)과 (22)를 이용하면 LAS 시스템에 서의 A^a(B_n )에 대한 기대치를 다음과 같이 구할 수 있 다(1 ≤ n ≤ K ).

마지막으로 α n b 을 다음과 같이 정의하자.

아울러 식 (10)~(13)을 w로 한번 미분한 후 u = z =w = 1을 대입하여 정리하면 A^b(B_n )의 기대치에 대한 다음 관계식 을 얻는다.

식 (27)은 등비 수열의 형태이므로 등비 수열의 관계를 이용하면 다음 식을 얻을 수 있다.

E [ A b ( B n ) ] = ∑ m = 1 n α m b 이므로 식 (30)을 축차적으로 더한 후 (28)을 대입하면 EAS 시스템에서의 A^b(B_n )에 대한 기대치를 다음과 같이 구할 수 있다(1 ≤ n ≤ K ).

마찬가지로 식 (30)과 (29)를 이용하면 LAS 시스템에서 의 A^b(B_n )에 대한 기대치를 다음과 같이 구할 수 있다 (1 ≤ n ≤ K ).

식 (24)와 (31), 그리고 식 (25), (26)과 (32)를 이용하면 바쁜 기간 B_n동안 도착한 총 고객수 A (B_n )의 기대치를 EAS와 LAS 시스템에 대하여 구할 수 있으며, 그 결과가 다음 관계식을 만족함을 (18)와 (19)에서 확인할 수 있다.

이제 단일 휴가를 가지는 Geo/Geo/1/K 모형의 바쁜 기간 B , 그 동안 도착하여 시스템에 입장하는 고객수를 A^a(B ), 도착하였으나 손실되는 고객수를 A^b(B )의 기대치를 구해 보자. 바쁜 기간 B의 시작 시점의 고객수는 유휴기간 동 안 도착하여 입장한 고객수 A^a(I )이다. 따라서, B의 기대 치는 다음과 같이 Geo/Geo/1/K의 표준 바쁜 기간의기대치 β₁ = E [B₁ ]과 나머지 항으로 분해되는 형태로 표현할 수 있다.

그리고 식 (17)과 (9)의 결과를 (33)에 대입하면 다음을 얻는다.

따라서 EAS와 LAS의 E [B ]는 (34)에 (15)과 (16)를 대입 하여 정리하면 다음을 얻는다.

마찬가지 방식으로 A^a(B ) , A^a(B )의 기대치에 대해서도 다음과 같이 표준 바쁜 기간에 대응하는 항목과 아닌 항 목으로 분해되는 형식으로 표현할 수 있다.

그리고 식 (36)에 (23)과 (9)의 결과를 대입한 후, (21)와 (22)를 이용하면 EAS와 LAS 시스템의 E [A^a(B )]를 다음 처럼 얻는다.

마찬가지로 식 (37)에 (30)과 (9)의 결과를 대입한 후, (28) 와 (29)를 이용하면 EAS와 LAS 시스템의 E [A^b(B )]를 다음 처럼 구할 수 있다.

아울러 식 (35), (38), (39)에서 다음 관계가 성립함을 확 인할 수 있다.

지금까지 나온 결과를 이용하면 다양한 성능지표를 구할 수 있다. 대표적인 성능지표로 바쁜 기간의 발생빈도 r_B , 임의 시점에서 시스템을 관찰했을 때 서버가 유휴 상태일 확률 P_I와 바쁠 확률 P_B , 시스템에 도착한 고객이 손실될 확률 P_L를 들 수 있다. r_B는 서버가 유휴 상태에서 바쁜 상태로 전환할 때, 또는 바쁜 상태에서 유휴 상태로 전환 할 때 추가적 비용이 발생하는 경우 단위 시간당 발생하 는 전환 비용을 계산하게 해준다. P_I와 P_B는 시스템이 유 휴 상태일 때와 바쁠 상태일 때 발생하는 서버 유지비용- 예로 에너지 사용량이 있다-이 다른 경우 단위 시간당 발 생하는 서버 유지비용을 계산하게 해준다. P_L은 고객 손 실에 따른 비용을 계산하게 해준다. C를 하나의 유휴기 간과 바쁜 기간으로 이루어진 한 주기(cycle)의 길이라고 하자. 즉, C = I +B . 그러면 지금까지 나온 결과를 이용하 면 다음과 같은 관계식으로 앞에 언급한 성능지표를 구할 수 있다.

우리는 다음 장에서 시스템의 매개변수 값이 달라질 때 언급한 대표적인 성능지표가 어떻게 변하는지 살펴볼 것이다.

5. 수치 예제

이 장에서는 시스템의 주요 매개변수가 변화할 때 성 능 지표가 어떻게 변화하는지를 수치 예제로 살펴본다.

<Figure 2>의 그래프는 시스템 용량 K가 2에서 10으 로 늘어날 때, 평균 주기 E (C ) , 바쁜 기간의 발생 빈도 r_B , 서버가 바쁠 확률 P_B , 도착한 고객이 손실될 확률 P_L이 어떻게 변하는지 보여준다. 고객 도착 확률 λ = 0.5, 서비스 성공 확률 μ = 0.55, 휴가 성공 확률 θ = 0.5로 설정되었다. <Figure 2>의 왼쪽 위 그래프는 EAS와 LAS 시스템에서 E (C )의 변화를 보여준다. 아울 러 E [I ]와 E [B ]의 변화도 보여준다. 그래프에서 보듯이 K가 증가함에 따라 EAS와 LAS 시스템 모두에서 E [I ]는 변화가 없지만 E [B ]는 증가하고 그렇기 때문에 E [C ]도 증가한다. 이러한 현상이 나타나는 이유는, 유휴기간의 길이 I는 휴가 기간의 길이와 휴가 시작 후 첫 번째 고 객이 도착하는 시간에만 영향을 받으므로 시스템 용량 K의 변화에 관련이 없는 반면, 바쁜 기간 B는 시스템 용량 K가 늘어나면 유휴기간 및 바쁜 기간에 도착하는 고객의 손실이 줄어들어 그 길이가 늘어나기 때문이다. 따라서 시스템 용량이 증가하면 바쁜 기간의 발생빈도 r_B = 1/E [C ]는 감소하고(<Figure 2>의 오른쪽 위 그래프), 서버가 바쁠 확률 P_B = E [B ]/(E [I ] +E [B ])는 증가한다 (<Figure 2>의 왼쪽 아래 그래프). 또한 시스템 용량 K가 늘어나면 시스템이 가득 찰 확률이 줄어들므로 고객 손실 확률 P_L은 감소한다(<Figure 2>의 오른쪽 아래 그래프).

여기서 주목할 부분은 EAS와 LAS 시스템의 E [C ], r_B , P_B , P_L의 차이이다. 유휴기간 I동안의 고객의 입장과 손 실은 EAS와 LAS에서 차이가 없다. 그러나 바쁜 기간 동 안에 시스템이 고객으로 가득 차 있을 때 고객 도착이 서 비스 종료 슬롯에 발생하는 경우에는 차이가 나타난다. 이 경우 EAS는 서비스 종료가 먼저 처리되므로 고객 손실이 일어나지 않지만, LAS는 고객 도착이 먼저 처리되어 고객 손실이 일어난다. 따라서 EAS 시스템은 LAS에 비해 고객 손실 확률 P_L이 시스템 용량 K에 무관하게 작다(<Figure 2>의 오른쪽 아래 그래프). 아울러 바쁜 기간 동안의 고객 손실이 EAS가 LAS보다 더 적게 발생하므로 EAS의 바쁜 기간의 길이가 LAS보다 늘어난다. 따라서 시스템 용량 K 에 무관하게 EAS의 E [B ], E [C ], P_B는 LAS보다 더 커지 고, r_B는 LAS에서 더 커진다(<Figure 2> 참조).

그런데 두 시스템의 차이는 시스템 용량 K가 작을수록 더 두드러진다. 왜냐하면 시스템 용량이 작을수록 다른 조건이 같으면 더 자주 시스템이 가득 차게 되고, 시스템 이 가득 찰 때 발생하는 서비스 종료 슬롯에서의 고객 손 실의 차이가 더 빈번하게 나타나기 때문이다. 따라서 시 스템 용량 K가 줄어들면 EAS아 LAS의 고객 손실 확률 P_L의 차이가 커진다(<Figure 2>의 오른쪽 아래 그래프 참조). 또한 시스템 용량 K가 줄어들면 EAS와 LAS의 고객 손 실의 차이도 늘어나므로 E (B )의 차이도 증가하게 된다. 그러므로 E (C ), P_B , r_B의 차이는 감소한다. 반대로 시스 템 용량 K가 커지면 이 차이는 점차 사라진다(<Figure 2> 참조).

결론적으로, 시스템 용량이 커지면 EAS와 LAS의 성 능 차이는 무시할 정도로 줄어들지만, 시스템 용량이 작 으면 이 차이가 무시될 수 없다. 따라서 시스템 용량이 작은 경우, 분석하고자 하는 시스템이 EAS와 LAS 중 어 느 모형에 더 적합한지를 정확히 파악하여 더 알맞은 모 형을 사용하는 것이 분석의 정확성을 올릴 수 있다.

<Figure 3>의 그래프는 고객 도착 확률 λ가 0.04에서 0.84로 늘어나면 평균 주기 E (C ) , 바쁜 기간의 발생빈도 r_B , 서버가 바쁠 확률 P_B , 도착한 고객이 손실될 확률 P_L 이 어떻게 변하는지 보여준다. 시스템 용량 K = 3, 서비스 성공 확률 μ = 0.55, 휴가 성공 확률 θ = 0.5로 설정되었 다. <Figure 3>의 왼쪽 위 그래프는 EAS와 LAS 시스템에 서 E (C )의 변화를 보여준다. 아울러 E [I ]와 E [B ]의 변화도 보여준다. 그래프에서 보듯이 λ가 증가함에 따라 E [I ]는 처음에는 급격히 나중에는 천천히 감소한다. 이러한 현상 이 발생하는 이유는, 단일 휴가 대기행렬에서 유휴기간 I 의 길이는 휴가 길이 V와 유휴기간 시작 시점에서 첫 번 째 고객 도착 시간까지의 길이 중 더 긴 것이 되기 때문 이다. 고객 도착 확률 λ가 휴가 성공 확률 θ보다 작을 때 는 고객 도착 시간에 의해 유휴기간이 결정될 가능성이 커지므로 λ의 변화에 더 민감하게 반응하지만, λ가 θ 커 지면 유휴기간이 휴가 기간에 의해 결정될 가능성이 커져 λ의 변화에 둔감해 진다. 반면 E [B ]는 λ가 늘어나면 시 스템이 비어지기 전에 고객이 도착할 확률이 급격히 커지 므로 증가한다. 평균 주기 E [C ]는 λ에 대해 반대 경향을 보이는 E [I ]와 E [B ] 때문에 λ가 증가함에 따라 처음에는 감소하지만 어느 시점부터는 증가하는 현상을 보인다. 같 은 이유로 r_B = 1/E [C ]는 λ가 증가하면 처음에는 증가하 다 어느 시점부터는 감소한다(<Figure 3>의 오른쪽 위 그 래프 참조). 서버가 바쁠 확률 P_B = E [B ]/(E [I ] +E [B ])는 λ가 증가하면 E [I ]는 계속 줄고 E [B ]는 계속 늘어나므로 계속 증가한다(<Figure 3>의 왼쪽 아래 그래프 참조). 또 한 λ가 증가하면 고객이 가득 찰 확률이 늘어나므로 고 객의 손실 확률 P_L은 증가한다(<Figure 3>의 오른쪽 아래 그래프 참조).

다음으로 EAS와 LAS 시스템의 E [C ], r_B , P_B , P_L의 차 이를 살펴보자. 시스템 용량에 대한 성능 지표를 살펴볼 때와 같이 EAS 시스템의 고객 손실 확률 P_L이 LAS보다 작으므로, EAS의 E [B ]가 LAS보다 커진다. 이 때문에 E [C ]와 P_B는 EAS 시스템이 LAS보다 크고, r_B는 EAS 시 스템이 LAS보다 작다(<Figure 3> 참조).

그런데 EAS와 LAS의 고객 손실 확률 P_L의 차이는 λ 가 커짐에 따라 확대되다가 감소하는 경향을 보인다 (<Figure 3>의 오른쪽 아래 그래프 참조). EAS와 LAS의 고객 손실 확률이 가장 크게 차이가 난 곳은 λ ≈ 0.5 근 방이었다. 이러한 현상이 발생한 이유는 다음과 같다. 처 음에 가 커지면 시스템이 가득 찰 확률이 늘어나고, 이 때 시스템 종료 슬롯에서 도착한 고객의 손실의 차이가 발생할 가능성도 커진다. 그런데 고객 도착 확률이 너무 커져 거의 1에 근접하면 시스템은 항상 고객으로 가득 차게 되고, 거의 모든 슬롯에서 고객 도착이 발생하여 EAS와 LAS의 고객 손실 확률은 거의 같아진다. 왜냐하 면 시스템이 가득 차 있으므로 EAS 시스템에서는 고객 의 서비스 시간에서 마지막 슬롯을 제외하고 항상 고객 손실이 발생하고 서비스 시간의 마지막 슬롯에서 도착한 고객만 입장하게 된다. 그리고 항상 시스템의 고객수는 K로 유지된다. 반면 LAS 시스템에서는 고객이 가득 차 있으면 서비스 시간 동안 도착한 고객은 모두 손실된다. 그렇기 때문에 서비스 종료 후 첫 슬롯의 시스템의 고객 수는 K - 1이 되고, 그 슬롯에 도착한 고객은 시스템에 입장하지만, 그 다음 슬롯부터는 다시 시스템이 가득 차 게 되어 도착한 고객이 손실된다. 따라서 LAS에서는 서 비스 시작 슬롯에 도착한 고객만 시스템에 입장하고 나 머지 슬롯에 도착한 고객은 손실된다. 결국, EAS와 LAS 모두 시스템이 항상 서비스를 수행하고 서비스 시간 중 한 슬롯에서만 고객이 입장하고 나머지 슬롯에서는 손실 되는 것은 동일하므로 동일한 고객 손실률을 보인다.

마찬가지로 λ가 증가하면 서버가 바쁠 확률 P_B의 EAS 와 LAS의 차이는 늘어나다 1에 가까워지면 줄어든다 (<Figure 3>의 왼쪽 아래 그래프 참조). 반면 E [B ]의 EAS와 LAS의 차이는 λ가 증가함에 따라 계속 늘어난다(<Figure 3>의 왼쪽 위 그래프 참조). 그러나 E [C ]의 역수인 바쁜 기간의 발생 비율 r_B는 다른 성능 지표와 마찬가지로 λ 가 늘어남에 따라 처음에 EAS와 LAS의 차이가 증가하다 λ가 1에 가까워짐에 따라 감소한다(<Figure 3>의 오른쪽 위 그래프 참조).

결론적으로, 시스템 용량 K가 작더라도 고객 도착 확 률 λ가 서비스 성공확률 μ보다 크게 작거나, 1에 가까워 지면 EAS와 LAS의 성능 차이는 무시할 정도로 줄어들 지만, 그렇지 않으면 성능 차이가 무시될 수 없다.

<Figure 4>의 그래프는 서비스 성공 확률 μ가 0.33에서 1로 늘어나면 평균 주기 E (C ) , 바쁜 기간의 발생빈도 r_B , 서버가 바쁠 확률 P_B , 도착한 고객이 손실될 확률 P_L이 어떻게 변하는지 보여준다. 시스템 용량 K = 3, 고객 도 착 확률 λ = 0.5, 휴가 성공 확률 θ = 0.5로 설정되었다. <Figure 4>의 왼쪽 위 그래프는 EAS와 LAS 시스템에서 E (C )의 변화를 보여준다. 아울러 E [I ]와 E [B ]의 변화도 보여준다. 그래프에서 보듯이 μ가 바뀌어도 E [I ]는 변하 지 않는다. 유휴기간 I의 길이는 휴가 길이 V와 유휴기간 시작 시점에서 첫 번째 고객 도착 시간까지의 길이에 의 해서만 결정되기 때문이다. 반면 E [B ]는 μ가 늘어나면 감소한다. 따라서 평균 주기 E [C ]도 μ가 늘어나면 감소 하는 경향을 보인다. 같은 이유로 r_B = 1/E [C ]는 μ가 증 가하면 늘어나는 경향을 보인다(<Figure 4>의 오른쪽 위 그래프 참조). 서버가 바쁠 확률 P_B = E [B ]/(E [I ] +E [B ]) 도 μ가 증가하면 E [I ]는 변화가 없는데 E [B ]는 계속 줄어 들므로 계속 감소한다(<Figure 4>의 왼쪽 아래 그래프 참 조). 또한 μ가 증가하면 고객이 시스템에 가득 찰 확률이 줄어들므로 고객의 손실 확률 P_B는 감소한다(<Figure 4> 의 오른쪽 아래 그래프 참조).

다음으로 EAS와 LAS 시스템의 E [C ], r_B , P_B , P_L의 차이를 살펴보자. 앞 선 수치 예제와 마찬가지로 EAS 시 스템의 고객 손실 확률 P_L이 LAS보다 작으므로, EAS의 E [B ]가 LAS보다 커진다. 이 때문에 E [C ]와 P_B는 EAS 시스템이 LAS보다 크고, r_B는 EAS 시스템이 LAS보다 작다(<Figure 4> 참조).

그런데 EAS와 LAS의 고객 손실 확률 P_L의 차이는 μ 가 커짐에 따라 확대되다가 조금 감소하는 경향을 보인 다(<Figure 4>의 오른쪽 아래 그래프 참조). 이 예에서는 μ≈ 0.6 근방에서 EAS와 LAS의 고객 손실 확률의 차이 가 최대로 벌어졌다. 이러한 현상이 발생하는 이유는 다 음과 같다. EAS와 LAS의 성능 지표의 차이는 시스템이 고객으로 가득 찼을 때 서비스 마지막 슬롯에서 고객이 도착하는 경우 발생한다. 따라서 μ가 늘어나면 시스템이 가득 찰 확률이 감소하여 EAS와 LAS의 차이가 발생하 기 어렵다. 그렇기 때문에 <Figure 4>의 왼쪽 위 그래프 의 EAS와 LAS의 E [B ]의 차이가 μ가 1에 가까워지면 소멸됨을 볼 수 있다. 그러나 고객 손실 확률 P_L에는 μ 가 커짐에 따라 EAS와 LAS의 차이를 늘어나게 하는 요 소도 존재한다. 바쁜 기간 중에 고객 손실이 발생할 때는 시스템이 고객으로 가득 차 있고 고객이 서비스 중일 때 다. μ가 늘어나면 시스템이 가득 찰 확률은 줄어들지만, 서비스 시간에서 서비스 종료 슬롯의 비중이 늘어나서 오히려 고객 손실 사건에서 EAS와 LAS의 차이를 만들어 낸다. 극단적으로 μ = 1이 되면 바쁜 기간의 고객 손실은 모두 서비스 종료 슬롯에서 발생한다. 따라서 μ가 λ보다 상대적으로 작은 경우에 μ가 늘어나면 시스템이 가득 찰 확률의 감소에 따른 효과보다 서비스 시간 중 서비스 종료 슬롯의 비중이 증가되는 효과가 더 커서 두 시스템 의 격차가 확대되지만, μ가 λ보다 커져 1에 가까워지면 시스템이 가득 찰 확률이 줄어들어 두 시스템의 격차가 조금 축소된다. 그러나 서비스 시간에서 종료 슬롯의 비 중이 늘어나는 효과 때문에 고객 손실 확률의 차이는 어 느 정도 유지된다.

반면 μ가 증가하여 1에 가까워지면 시스템이 가득 찰 확률이 떨어져서 E [B ]의 EAS와 LAS에서의 차이는 줄어 들고 이에 따라 평균 주기 E [C ]의 차이도 줄어든다 (<Figure 4>의 왼쪽 아래 그래프 참조). 마찬가지 이유로, μ가 늘어남에 따라 바쁜 기간 발생빈도 r_B의 EAS와 LAS의 차이가 감소하고(<Figure 4>의 오른쪽 위 그래프 참조), 서버가 바쁠 확률 P_B의 EAS와 LAS의 차이도 줄 어든다(<Figure 4>의 왼쪽 아래 그래프 참조).

결론적으로, 서비스 성공 확률 μ가 늘어나 λ보다 커 지고 1에 가까워지면 E [C ], r_B , P_B 등의 EAS와 LAS에 서의 성능 차이는 무시할 정도로 줄어들지만, 고객 손실 확률 P_L의 성능 차이는 서비스에서 종료 슬롯의 비중이 늘어나 크게 줄어들지 않으므로 주의를 해야 한다.

<Figure 5>의 그래프는 휴가 성공 확률 θ가 0.08에서 1로 늘어나면 평균 주기 E [C ], 바쁜 기간의 발생빈도 r_B , 서버가 바쁠 확률 P_B , 도착한 고객이 손실될 확률 P_L이 어떻게 변하는지 보여준다. 시스템 용량 K = 3, 고객 도착 확률 λ = 0.5, 서비스 성공 확률 μ = 0.55로 설정되었다. <Figure 5>의 왼쪽 위 그래프는 EAS와 LAS 시스템에서 E (C )의 변화를 보여준다. 아울러 E [I ]와 E [B ]의 변화도 보여준다. 그래프에서 보듯이 θ가 늘어나면 E [I ]는 빠르 게 감소하다 더 이상 크게 변화하기 않는다. 이는 유휴기 간 I의 길이는 휴가 길이 V와 유휴기간 시작 시점에서 첫 번째 고객 도착 시간까지의 길이 중 더 긴 시간에 의 해서 결정되기 때문이다. E [B ]도 θ가 늘어나면 유휴기간 동안 도착하는 고객수가 감소하므로 감소하나 E [I ]에 비해 느린 감소 경향을 보인다. 따라서 평균 주기 E [C ]도 θ가 늘어나면 감소하는 경향을 보인다. 같은 이유로 r_B = 1/ E [C ]는 θ가 증가하면 늘어나는 경향을 보인다(<Figure 5> 의 오른쪽 위 그래프 참조). 서버가 바쁠 확률 P_B = E [B ]/ (E [I ] +E [B ])는 θ가 증가하면 늘어나는데 E [I ]의 감소 경 향이 E [B ]의 감소 경향보다 크기 때문이다(<Figure 5>의 왼쪽 아래 그래프 참조). 또한 θ가 증가하면 유휴기간과 바쁜 기간 모두에서 고객이 시스템에 가득 찰 확률이 줄 어들므로 고객의 손실 확률 P_L은 감소한다(<Figure 5>의 오른쪽 아래 그래프 참조).

다음으로 EAS와 LAS 시스템의 E [C ], r_B , P_B , P_L의 차이를 살펴보자. 휴가 성공 확률의 변화에 따라 EAS와 LAS의 차이가 수렴되는 성능지표는 없었다(<Figure 5> 참조). 이는 휴가 기간의 길이와 무관하게 항상 바쁜 기 간에 발생하는 EAS와 LAS의 고객 손실의 차이가 발생 하기 때문이다. 그러나 휴가 기간이 길어질수록(θ가 줄 어들수록) 유휴기간과 바쁜 기간에서 시스템이 가득 찰 확률이 증가하므로 E [B ], E [C ], P_B , P_L의 EAS와 LAS에 서의 차이가 조금 확대되는 경향을 보였다. 반면 r_B는 휴가 기간이 짧아질수록(θ가 증가할수록) EAS와 LAS의 격차가 커지는 경향을 보였다. 이는 휴가 기간이 짧아질 수록 E [I ]가 더 빠르게 감소하여 전체 사이클에서 E [B ] 의 차이의 영향력이 커졌기 때문이다.

결론적으로, 휴가 기간의 길이에 무관하게 EAS와 LAS에서의 성능 차이는 항상 발생하고, 특히 휴가 기간 이 길어지면 E [C ], P_B , P_L의 성능 격차가 늘고, 휴가가 짧아지면 r_B의 격차가 늘어나는데 주의해야 한다.

6. 결 론

본 연구에서는 단일 휴가형 Geo/Geo/1/K 대기행렬의 바 쁜 기간을 분석하였다. 서론에서 밝혔듯이 연속시간 모형 에 비해 이산시간 유한용량 대기행렬의 바쁜 기간 분석은 까다로운 측면이 있어서 그에 대한 연구가 제한되었다. 최 근 Yu and Alfa[21]는 다중 휴가형 Geo/Geo/1/K 대기행렬 의 바쁜 기간에 대한 연구를 수행하였는데, 본 연구는 이 를 단일 휴가형 Geo/Geo/1/K 모형으로 확장을 하였다.

본 연구는 기존 연구에 비해 다음과 같은 이론적, 실 용적 기여를 갖는다. 첫째, Yu and Alfa[21]에서는 바쁜 기간의 길이만 분석한대 반해, 본 연구에는 유휴기간과 바쁜 기간의 길이와 그 동안 도착하여 입장하거나 손실 되는 고객수를 함께 분석하였다. 이를 통해 평균 주기, 바쁜 기간의 빈도와 서버가 바쁠 확률뿐 아니라 고객 손 실 확률을 바쁜 기간 분석에서 구할 수 있음을 보였다. 둘째, Yu and Alfa[21]에서는 EAS 모형에서의 바쁜 기간 을 분석한데 반해, 본 연구에서는 EAS와 LAS 모형 모두 에 대해서 분석함으로써 두 모형의 성능 차이를 수치적 으로 비교할 수 있었다. 이를 통해 시스템 설계자가 시스 템의 성능을 분석할 때 EAS와 LAS 모형의 차이를 언제 중요하게 고려해야 하는지를 제시하여(5장 참조) 유한용 량 이산시간 대기행렬 모형을 실질적으로 이해하는데 도 움을 주었다. 셋째, 본 연구는 Yu and Alfa[21]에 비해 좀 더 단순하고 직관적인 방식을 사용하여 본 연구 결과 를 응용하고자 하는 연구자가 사용하기 쉽게 하였다. 먼 저 Yu and Alfa[21]에서는 바쁜 기간의 서비스 종료 시 점에 발생하는 사건에 조건을 걸어 바쁜 기간을 분석하 였으나, 본 연구에서는 바쁜 기간의 첫 슬롯에서 발생하 는 사건에 조건을 걸어 바쁜 기간을 분석하여 동일한 결 과를 얻을 수 있음을 보였다. 아울러 Yu and Alfa[21]에 서는 바쁜 기간의 기대치에 대한 관계식을 풀기 위해 크 래머 공식보다는 단순한 해법을 제시하여 문제에 대한 직관적 이해를 도모하였다.

유한용량 이산시간 대기행렬의 바쁜 기간의 분석은 아 직도 해당 연구가 적으므로 다음과 같은 부분에서 후속 연구가 기대된다. 첫째, 이산시간 모형을 실제 문제에 적 용할 때, 단일 슬롯에서 여러 고객이 도착하는 경우가 자 주 나타난다. 따라서 배치 도착 유한용량 이산시간 대기 행렬의 바쁜 기간에 대한 분석이 수행된다면 현실 문제에 대한 바쁜 기간 분석의 적용 가능성이 향상될 것이다. 둘 째, 현재 분석된 대기행렬 모형의 서비스 시간은 기하분 포를 따른다고 가정되었다. 그러나 현실 문제에서는 일반 분포를 따를 가능성이 높으므로 휴가형 Geo/G/ 1/K의 대 기행렬 모형의 바쁜 기간의 분석이 필요하다. 셋째, 우선 순위 대기행렬에서 어떤 클래스 고객의 실질적인 서비스 시간을 분석할 때 상위 클래스 고객의 바쁜 기간의 길이 에 대한 분석이 필요하다[11, 12]. 따라서 본 연구의 결과 를 응용하여 다양한 유한용량을 가지는 이산시간 우선순 위 대기행렬에 대한 연구를 기대할 수 있을 것이다.