1. 서 론

생산 현장에서 사용되는 통계적 공정관리 분석은 대 부분 공정 데이터들이 정규분포를 따른다는 가정하에 개 발된 수리적 척도를 사용한다. 하지만 자동화된 측정시 스템을 통해 실시간으로 집계되는 실측 데이터들의 분포 를 확인해 보면 정규분포를 따르지 않는 경우도 빈번하 다. 표본의 수가 충분히 많으면 중심극한정리에 따라 정 규분포에 근사한다는 사실을 기반으로 통계적 분석을 수 행할 수는 있겠으나 정확하고 신뢰성 있는 공정분석 결 과라고 판단할 수는 없을 것이다. 따라서 다양한 통계적 분석을 적용함에 있어 공정으로부터 수집된 데이터들에 대한 정규성을 우선적으로 확인할 필요성이 있으며 그 결과 정규분포를 따르지 않는다면 이에 대한 적합한 공 정분석 방법의 적용이 요구될 것이다.

특히 생산 현장에서는 통계 패키지를 이용하여 공정능 력지수를 산출한다. 그러나 공정 데이터들에 대한 정규 성 여부를 확인하지 않은 채 분석된 공정능력지수 결과를 토대로 공정상태를 판단하고 있다. 데이터에 대한 정규 성을 만족하지 않음에도 불구하고 정규분포를 가정한 분 석법에 의해 얻어진 그릇된 평가 결과는 결국 왜곡된 해 석과 그로 인한 잘못된 조치를 유발할 것이다.

본 연구는 최근 연구되었던 역정규 손실함수를 이용한 다변량 공정능력지수인 MC_pI모형을 대상으로 연구의 적 용범위를 확장하고자 한다. 즉, 분석대상의 모든 변수들이 다변량 정규분포를 따른다는 가정을 전제로 제안된 기존 연구모형 MC_pI의 한계를 극복할 수 있는 공정능력의 분석 을 제안하고자 한다. 따라서 본 연구에서는 다변량의 공정 데이터들이 정규분포뿐 만 아니라 비정규분포에서도 적용 가능한 MC_pI의 공정능력 분석 프로세스를 수립할 것이다.

정규성 검정을 위한 방법은 히스토그램, Q-Q(Quantile- Quantile) plot, P-P(Probability–Probability) plot과 같은 그래프를 이용한 시각적 분석방법과 통계량을 이용한 적 합도 검정이 있다. 통계량에 의한 일변량 정규성(UVN : Univariate Normality) 검정법은 왜도, 첨도, 카이제곱 검 정, Kolmogorov-Smirnov 검정, Shapiro-Wilk 검정, Anderson- Darling 검정, Lilliefors 검정, Jarque-Bera 검정 등 다양한 방법들이 제안되었다. 그리고 이러한 UVN 검 정법들은 다변량으로의 확장이 가능하다[5]. 대다수의 통 계 소프트웨어 패키지들은 다양한 UVN 검정법의 기능 들을 포함하고 있다. 따라서 본 연구에서는 사용자들이 용이하게 다변량 공정능력지수 MC_pI 분석을 실시할 수 있도록 통계 패키지의 UVN 검정을 이용하여 다변량으 로 확장한 정규성(MVN : Multivariate Normality) 검정을 수행하는 프로세스를 제안하고자 한다.

많은 연구자들이 추천하고 있는 MVN 검정을 위한 첫 번째 단계는 모든 변수들에 대하여 개별적으로 UVN 검 정을 수행하는 것이다. 이는 MVN의 필요 충분 조건으로 써 각각의 변수들의 주변분포(Marginal Distribution)가 정 규분포를 만족해야 한다는 것을 의미한다. 그리고 UVN 검정 결과 변수들 중 하나라도 비정규성을 나타내면 MVN을 만족할 수 없다. 또한 모든 변수들이 주변정규분 포를 따른다고 해도 이것이 반드시 다변량 정규분포를 의 미하지는 않기 때문에 MVN에 대한 검증 절차가 추가적 으로 필요하다. 따라서 본 연구에서 MVN 검정을 수행하 기 위한 프로세스의 첫번째 단계로 모든 변수들에 대하여 정규성 그래프와 UVN를 수행한다. 그 다음 단계로 왜도 와 첨도를 확인한다. 그런 후에 Shapiro-Wilk검정을 다변 량으로 확장한 Royston 검정과 다변량의 왜도와 첨도 접 근법인 Small의 Q1, Q2를 실시한다[5].

비정규분포에서의 공정능력지수에 관한 기존 연구에 는 정규변환(Normalizing Transformation)을 이용하여 비 대칭분포를 정규분포로 변환한 후 전통적인 공정능력지 수를 이용하는 방법, 경험분포(Empirical Distribution) 혹은 다양한 상황을 묘사할 수 있는 3 또는 4-모수 분포를 활 용하여 분포의 0.135백분위수와 99.865백분위수를 추정 한 후 분포의 산포를 구하는 방법, 공정능력지수가 분포 의 형태에 강건(Robust)하도록 공정능력지수의 모수를 변 화시키는 방법, 공정의 불량률을 추정한 후 추정된 불량 률을 공정능력지수로 역산하는 방법, 분포의 산포를 분 할하여 분포의 위쪽 부분과 아래쪽 부분에 서로 다른 산 포를 활용하는 휴리스틱(Heuristic) 방법 등 다양한 방법 들이 제안되었다[3]. 따라서 본 연구에서는 공정의 변수 들이 비정규분포를 따른다면 정규변환을 이용하여 정규 분포에 근사하도록 변환시킨 후 MVN을 만족하는 조건 하에서 다변량 공정능력지수 MC_pI를 이용하여 공정능력 을 평가하고자 한다. 그리고 MVN을 만족시키기 위해 정 규변환을 수행한 경우와 그렇지 않은 경우에서의 MC_pI 결과값을 비교하여 공정상태에 관한 평가에 미치는 영향 을 비교하고자 한다.

2. 이론적 배경

2.1 기호

2.2 정규성 검정 및 Box-Cox 변환

UVN 검정 가운데 모든 분포에 대하여 검정력이 가장 우수한 검정법은 Shapiro-Wilk 검정이지만 표본의 수가 50 이상일 경우에는 검정력이 떨어지는 한계점을 가지고 있다. 따라서 본 연구에서는 표본의 수에 대한 제약을 받 지 않으면서 검정력이 우수한 Anderson-Darling(AD) 검 정을 채택하고자 한다. Anderson, Darling에 의해 제안된 AD 검정은 적합도 검정을 기반으로 분석하며, AD 검정 통계량 A²는 다음과 같다[1].

여기서 F(x_i)는 순서통계량 x_i의 누적분포함수를 의미한다. MVN 검정을 위해 본 연구에서 채택하고자 하는 검정법 은 UVN의 Shapiro-Wilk 검정을 n ≤ 2000인 표본에서 사용 가능하도록 다변량으로 확장한 Royston검정이며 검 정 통계량 H는 다음과 같다[8].

여기서 G = ∑ j = p p K j 이고 e = p / [ 1 + ( p − 1 ) c ¯ ]이다.

그리고 K j = ( F − 1 [ F ( − Z j ) / 2 ] ) 2 , c ¯ = ∑ i , j c i j / ( p 2 − p ) , ​ c i j = c o r r ( K i , K j ) 이다.

Royston 검정과 더불어 MVN 검정을 위해 다변량의 왜 도와 첨도도 함께 확인하고자 한다. Small은 변환된 개별 변수의 왜도와 첨도의 이차 조합을 기반으로 다변량에 대 한 왜도(Q₁)와 첨도(Q₂)를 다음과 같이 제안하였다[9].

여기서 y₁과 y₂는 각각 표본의 왜도와 첨도 벡터를 Johnson 변환에 의해 변환된 벡터이고, U₁과 U₂는 벡터 y₁과 y₂의 상관행렬을 의미한다. 그리고 Q₃ = Q₁ + Q₂를 이용하여 다변량 정규성의 옴니버스 검정(Omnibus Test) 을 실시할 수 있다.

UVN 결과 비정규분포를 따르는 데이터들은 Box-Cox 의 정규변환을 이용하여 분석하고자 한다. Box, Cox에 의해 소개된 ‘Box-Cox 변환(Box-Cox Transformation)’은 멱변환(Power Transformation) 방법의 일종으로 랜덤 변 수가 정규분포에 근사하도록 변환하는 방법이다.

Box-Cox 변환 함수의 식은 다음의 식과 같다[2, 4].

여기서 변환 전의 원본 데이터 집합은 X이고, 변환 후 의 데이터 집합은 Y이다. 그리고 상기 Box-Cox 변환 식(4) 는 X가 양수(X > 0)일 때 대해서만 성립한다. 하지만 X가 음수(X < 0)일 경우에는 일정 상수 값을 추가적으로 더하 여 양수로 변환한 후에 분석할 수 있다. Box-Cox 변환 과 정에서 중요한 파라미터는 λ(Lambda) 값의 결정이다. 원 본 데이터를 최대한 정규성에 근사한 데이터로 변환하기 위해서는 λ의 가장 적절한 값을 선택하는 것이 중요하다. 따라서 Box-Cox 변환 방법에서는 최대 우도 추정(MLE : Maximum Likelihood Estimation) 방법에 의하여 최적의 λ (Optimal Lambda)값을 결정한다. 최적의 λ를 구하기 위해 서는 우선 초기값으로 λ의 범위를 설정한다. 일반적인 통 계프로그램에서는 [-5, 5] 또는 [-2, 2]의 범위에서 설정할 수 있다. 그런 다음 최대 우도 측정법(MLE)에 의한 L_max 값을 다음의 식 (5)와 같이 구한다[2, 4].

여기서 σ ^ λ 2값은 다음의 식 (6)과 식 (7)와 같이 구한다.

2.3 다변량 공정능력 지수 MC_pI

Moon, Chung에 의해 제안된 다변량 공정능력지수 MC_pI 는 Tamm, Subbaiah, Liddy에 의해 제안된 MC_pm모형을 응 용한 다변량 공정능력지수이다[3, 4]. 즉, 공정영역의 산포 (Σ_T) 대신에 목표치로부터 공정평균이 멀어짐에 따른 손 실함수의 기대손실을 적용하였다. 그리고 MC_pI 모형에 적 용된 손실함수는 역정규 손실함수(Inverted Normal Loss Function)로써 Spiring에 의해 제안되었다. 이 손실함수는 품질변동에 따른 손실을 정규분포의 p.d.f의 역함수를 이용 함으로써 손실에 대하여 보다 합리적으로 설명한다는 장점 과 목표치 T_i 를 중심으로 최대손실 A_j에 대하여 손실함수 의 형태가 대칭과 비대칭 모두일 때 제약없이 적용이 가능 하다는 장점을 가진 모형이다[6].

3. Box-Cox를 이용한 다변량 공정능력분석

기존 연구에서 제안되었던 다변량 공정능력지수 MC_pI 는 모든 변수들이 다변량 정규분포를 따를 때 적합한 척 도 모형이다. 그러기에 본 연구에서는 이러한 한계점을 벗어나 비정규분포일 경우에도 MC_pI를 이용하여 공정능 력을 분석할 수 있도록 확장하는 방법을 제안한다. 즉, 공정으로부터 수집된 원본 데이터에 대하여 정규성을 검 정하고 그 결과가 정규분포를 따르지 않는다고 판정될 때 이에 대한 적절한 조치를 취함으로써 올바른 공정능 력 평가를 수행하고자 한다.

<Figure 1>의 Flow Chart에서 보듯이 다변량 공정능력 분석과정에서 가장 먼저 선행하고자 하는 분석이 정규성 검정(Normality Test)이다. 우선적으로 개별 변수들에 대 하여 그래프(히스토그램, Q-Q plot, P-P plot)와 UVN 검정 들(AD 검정, 왜도, 첨도)을 실시한다. 매트랩(MATLAB) 프로그램을 이용하여 Anderson-Darling 검정을 수행하게 되면 h값과 p-value의 결과에 따라 정규분포에 대한 가설 검정을 판정한다. h값(Hypothesis Test Result)의 판정기준 은 h = 1이면 H0(귀무가설 : 정규분포를 따른다)를 기각 하고 h = 0이면 H0를 채택한다. 또한 p-value ≤ 0.05이면 H0를 기각하고 p-value > 0.05이면 H0를 채택한다. 또한 각각의 변수들에 대한 왜도와 첨도를 분석하여 AD 검정 결과와 함께 검토한다. 이들 중 하나라도 정규성을 벗어 난다면 Box-Cox변환 방법에 의해 원본 데이터를 정규분 포에 근사하도록 변환시킨다. 만약 UVN 검정이 모두 만 족되더라도 Royston 검정과 다변량 왜도와 첨도를 분석 하여 다변량 정규분포에 대한 검증을 실시한다.

UVN 검정 결과 비정규분포를 따르는 변수들은 Box- Cox 변환을 수행한다. 이때 MLE 방법에 의해 각각의 변 수들에 대한 최적의 λ_i을 구한다. 이때 λ_i의 값에 대한 95% 신뢰구간과 최적의 λ_i값을 나타내는 그래프로 같이 도출하여 확인한다. 그리고 선택된 최적의 λ_i값을 가지고 Box-Cox 변환 함수에 의해 변환된 데이터 집합을 구한다. 이때 원본 데이터에 대한 규격의 상한과 하한, 목표치에 대한 수치들도 최적의 λ_i에 의해 동일하게 변환시킨다. 정규 변환된 데이터에 대해서는 변환 전과 같은 UVN의 AD 검정법에 의해 정규성 검정을 실시하고 히스토그램, Q-Q plot, P-P plot 을 통해 변환된 데이터들이 정규분포 에 근사하도록 바뀌었는지 확인한다. 그리고 MVN 검증 을 위해 Royston 검정과 다변량 왜도와 첨도를 분석한다.

변환된 데이터가 다변량 정규분포를 만족하면 해당 통 계량을 산출하여 다변량 공정능력지수 MC_pI에 대입하기 위한 입력값들을 구한다.

식 (8)에서 분자식의 ‘수정 규격허용오차영역의 면적 또 는 부피 [Vol.(R1)]’를 구한다. 품질특성치(변수)의 수(n)에 대한 면적 또는 부피를 구하는 일반적인 식은 다음과 같다.

여기서 a_i는 각 품질특성(변수)별 ‘규격범위(USL_i-LSL_i)의 1/2’이다.

그리고 식 (8)에서 분모식의 최대손실 A_j 전개방식에 따른 역정규 손실함수 L_I(X,T)와 기대손실 E[L_I(X,T)]는 다 음과 같다.

따라서 분자의 입력값인 규격영역에 대한 면적 또는 부피인 Vol.(R1) 값과 분모의 역정규 손실함수의 기대손 실 E[L_I(X,T)]값을 구하고 나면 다음의 식에 대입하여 MC_pI를 구한다. Table 1

4. 수치 예

본 연구에 이용된 시뮬레이션은 다음의 공통적 가정 과 범위를 전제로 한다.

수치 예는 3변량일 때 다음의 규격 조건을 만족해야 하는 경우로 가정한다.

3변량에 대한 다변량 공정능력 분석 프로세스는 <Figure 1>의 Flow Chart에 따라 실시하였다. 그리고 다변량 정규 분포를 만족시키기 위해 정규변환을 수행한 경우와 그렇 지 않은 경우의 MC_pI 결과값을 비교하고자 한다.

4.1 원본 데이터와 통계량(Original Data and Statistics)

3변량에 대한 원본 데이터들(Original Data Set)은 비정 규분포 하에서 각각 60개의 난수(Random Number)를 생 성하였으며 각 변수에 대한 통계량은 다음과 같다.

4.2 원본 데이터에 대한 정규성 검정(Normality Test for the Original Data)

모든 변수에 대하여 원본 데이터의 UVN의 Anderson- Darling(AD) 검정, 왜도, 첨도 분석을 실시한 결과는 다 음의 <Table 2>와 같다. 또한 동시에 원본 데이터에 대 한 히스토그램을 통해 분포의 형태를 확인하고 Q-Q plot, P-P plot을 통해 UVN 검정을 실시한 결과는 <Figure 2>, <Figure 3>, <Figure 4>와 같다. 왜도와 첨도는 비정규성 이 약해 보이긴 하지만 AD 검정 결과는 X₁에 대한 pvalue = 0.0096로 H0를 기각, X₂의 p-value = 0.0366로 역 시 H0를 기각, 그리고 X₃ 역시 p-value = 0.0064로 H0를 기각한다. 또한 MVN 검정을 실시한 결과 <Table 3>에 서와 같이 Q₁과 Royston 검정에서 p-value < 0.05로 일변 량과 다변량 모두에 대하여 정규분포를 따른다고 할 수 없다.

4.3 Box-Cox 변환 및 변환된 데이터(Box-Cox Transformation and Transformed Data)

정규분포를 따르지 않는 원본 데이터들에 대하여 Box- Cox 변환에 의한 데이터를 얻기 위해서는 가장 먼저 MLE (Maximum Likelihood Estimation) 방법에 의한 최적의 λ (Optimal Lambda) 값을 구하는 것이 필요하다. λ값의 범 위는 [-5, 5]으로 설정하였고, 초기값 -5에서부터 0.01씩 증 가시키며 구해진 L(λ_i)의 값에 대한 95% 신뢰구간의 λ 를 나타내는 그래프와 MLE 방법에 의한 최대값 [L_max (λ)]을 가지는 최적의 λ_i결과값은 다음과 같다. 최적 의 λ 값이 결정되면 3변량에 대한 변환된 데이터들 (Transformed Data Set)을 <Table 4>와 같이 얻을 수 있다. 그리고 변환된 데이터들의 통계량을 구하면 다음과 같다.

4.3.1 X₁의 최적의 λ₁과 95% 신뢰구간

∙Optimal Lambda (λ₁ ) = 2.14 <Figure 5>

4.3.2 X₂의 최적의 λ₂과 95% 신뢰구간

∙Optimal Lambda (λ₂ ) = 1.72<Figure 6>

4.3.3 X₂의 최적의 λ₃과 95% 신뢰구간

∙Optimal Lambda (λ₃ ) = -0.91 <Figure 7>

그리고 각각의 변수에 대한 최적의 λ_i을 공정의 규격 치에도 대입하여 Box-Cox 변환을 실시한 결과 다음과 같다.

4.4 변환된 데이터에 대한 정규성 검정(Normality Test for the Transformed Data)

Box-Cox 변환에 의해 변환된 데이터들의 UVN 검정을 위해 AD검정, 왜도, 첨도 분석을 실시하고 히스토그램, Q-Q plot, P-P plot을 실시한 결과 <Table 5>, <Figure 8>, <Figure 9>, <Figure 10>과 같다.

변환 후의 3변량에 대한 AD 검정 결과를 보면, Y₁ 에 대한 p-value = 0.0727로 H0를 채택, Y₂에 대한 pvalue = 0.1465로 H0를 채택, 그리고 Y₃ 역시 p-value = 0.3794로 H0를 채택한다. 따라서 3변량 모두에 대한 AD 검정, 왜도, 첨도 모두 UVN을 만족하고 있다. 그 리고 MVN 검정의 추가 분석 결과 <Table 6>과 같이 모두 p-value > 0.05로 다변량 정규분포를 따른다고 할 수 있다.

4.5 다변량 공정능력지수 MC_pI 의 비교(Comparison MC_pI between Before and After Box-Cox)

4.5.1 상관계수 변화에 따른 공정능력 비교

3변량(X′ = [x₁, x₂, x₃])에 대하여 상관계수 ρ가 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8과 같이 변화할 때 Box-Cox 변환 전과 변환 후의 다변량 공정능력지수 MC_pI 결과를 비교하면 다음 과 같다. 여기서 상관계수 ρ는 두 쌍의 변수간 상관계수 를 의미하며 모든 쌍간의 상관계수들이 모두 동일하다는 조건을 전제로 한다. 그리고 각 변수의 λ_i는 각 변수별 최적의 λ값일 때 변환된 데이터를 기준으로 하며 최대 손실 A′ = [0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01]이다.

상관계수 ρ의 변화에 따라 분산-공분산 행렬(Σ)값이 변하게 되고 이는 정규확률밀도함수 f(X)에 영향을 준다. 그로 인하여 역정규 손실함수의 기대값이 변하기 때문에 결국 다변량 공정능력지수 MC_pI의 결과에 대한 변화를 확인하고자 한다.

4.5.2 손실비용 변화에 따른 공정능력 비교

상관계수 ρ = 0.8이고 각각 변수에 대한 λ_i가 최적의 λ(Optimal Lambda) 값일 때를 기준으로 3변량의 최대손 실($) A′ = [A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈ 값이 동일한 대칭 일 때를 고려하였다. 최대손실 A($) = 1, 0.5, 0.1, 0.05, 0.01 일 각각의 경우에 따른 Box-Cox 변환 전과 변환 후 의 다변량 공정능력지수 MC_pI 결과를 비교하면 다음과 같다.

<Table 7>과 <Table 8>의 결과를 비교해 보면 Box- Cox 변환한 후의 공정능력 결과값이 Box-Cox 변환 전과 비교하여 약 2배 정도의 차이를 보이며 높게 평가되었 다. 다변량 공정능력지수 MC_pI는 다변량 정규분포를 가 정하여 개발된 모형이다. 정규분포를 따르지 않는 원본 데이터를 정규분포에 근사하도록 변환 후 MC_pI의 평가 모형에 적합한 공정능력을 구할 수 있다. 따라서 공정 분 석에 사용되는 평가척도의 적합성을 만족하지 않은 채 평가된 결과는 공정상태에 대한 왜곡된 해석과 그로 인 한 잘못된 시정조치를 초래할 수 있을 것이다.

5. 결 론

기존 연구의 다변량 공정능력지수 MC_pI 모형은 품질 특성치들이 다변량 정규분포를 따른다는 가정하에서 제 안된 척도이다. 하지만 본 연구에서는 공정 데이터들이 비정규분포를 따를 경우도 포함하여 평가할 수 있는 MC_pI의 분석 방법을 확장하여 제안하였다. 그리고 MC_pI 공정능력 분석을 위한 가장 선행하는 분석은 개별 변수 들의 UVN 검정과 MVN 검정을 실시하여 그 결과에 따 라 분석 방법을 이원화하여 수행하도록 제안하였다. 정 규성 검정 결과 정규분포를 따르지 않는다면 다양한 정 규변환 방법 가운데 Box-Cox 변환에 의해 비정규분포의 데이터를 정규분포에 근사하도록 변환 방법을 공정능력 분석 프로세스에 추가하여 확장하였다.

수치 예에서 3변량의 원본 공정 데이터가 일변량과 다 변량 모두 정규분포를 따르지 않음을 확인할 수 있었다. 사용자가 MC_pI를 이용하여 다변량 공정능력 분석을 수 행할 때 정규성 여부를 무시한 채 그대로 공정능력을 분 석한 결과와 Box-Cox 변환을 수행하여 정규분포에 근사 하도록 데이터를 변환한 후 공정능력을 분석한 결과를 비교해 보았다. 그리고 상관계수와 손실비용의 변화에 따른 MC_pI의 결과값 추이도 Box-Cox 변환 전과 후를 비 교하였다. 우선 상관계수와 손실비용의 변화에 따른 양 쪽 모두의 MC_pI 결과값은 Box-Cox 변환 전보다는 변환 후의 MC_pI 값이 높게 나타났다. 그리고 상관계수의 변화 에 따른 Box-Cox 변환 전과 변환 후의 MC_pI 결과값을 비교해 본 결과 전반적으로 변환 전과 변환 후의 MC_pI 값이 약 2배정도 차이를 보이고 있다. 또한 손실비용의 변화에 따른 Box-Cox 변환 전과 변환 후의 MC_pI 결과값 역시 전반적으로 변환 전과 변환 후의 차이가 약 2배정 도 나타났다. 이는 다변량 정규분포를 따르지 않음에도 불구하고 그대로 MC_pI를 이용하여 평가한다면 공정능력 지수의 결과값에 대한 정확도가 떨어질 수 있음을 의미 한다.

따라서 본 연구는 목표치에 대한 치우침, 경제적 손실, 변수들간의 상관관계, 대칭성, 비대칭성 등 다양한 정보 력과 유용성의 장점을 가진 다변량 공정능력 지수 MC_pI 에 대하여 정규분포를 따를 경우나 따르지 않을 경우 모 두를 분석할 수 있는 MC_pI의 적용범위를 보다 넓게 확 장시키는 제안이 될 것이다.