1. 서 론

최근의 생산공정은 고도의 기술력으로 자동화되어 가 면서 정교해지고 복잡해지고 있다. 또한 글로벌 시장 환 경 속에서 다양한 고객 니즈에 대하여 신속하게 대응하 기 위한 생산시스템은 유연성과 맞춤화를 기반으로 다양 한 규격의 제품들을 생산하는 시스템으로 바뀌어 가고 있다. 그러기에 이러한 생산시스템의 변화에 따라 생산 의 공정능력을 평가함에 있어서도 제품의 다양성, 규격 의 다양성, 관리변수의 다양성 등의 여러 관리요소들을 반영할 수 있는 보다 현실적이면서 유용성 높은 평가척 도가 요구될 것이다. 그리고 이러한 다양성을 온전히 분 석하기 위해서는 다변량 분석기법(Multivariate Analysis Method)이 더더욱 필요하다. 또한 품질에 영향을 미치는 다특성치들은 독립적이기 보다는 종속적으로 서로 영향 을 미치기 때문에 이들 간의 상관관계를 고려한 분석이 요구된다. 따라서 이러한 다변량 분석 방법을 생산공정 에 적용함에 있어 공정상태에 대한 정확한 정보를 제공 하면서도 동시에 보다 많은 유용한 정보력을 제공할 수 있는 척도야말로 더욱 가치가 있을 것이다.

생산현장에서 공정능력을 나타내는 대표적인 척도로 써 공정능력지수(Process Capability Index)를 많이 사용하 고 있다. 공정능력지수는 공정이 관리 상태 하에 있을 때 생산되는 제품의 품질변동이 어느 정도인가를 나타내는 것으로써, 공정의 균일성(Uniformity)을 의미한다. 그리고 공정평가 방법은 공정의 변동과 제품의 규격한계를 정량 적으로 비교하여 공정능력을 평가하게 된다.

전통적인 단변량 공정능력지수인 C_p와 C_pk는 공정산 포와 공정평균의 치우침을 고려하여 평가 하는 방법으로 이들을 시작으로 목표치로부터 품질 특성치의 변동을 고 려한 C_pm, C p m + 의 모형으로 발전하였다. 그리고 이러한 단변량 모형들은 다변량으로 확장되었고, 지속적으로 더 많은 유용한 정보들을 제공할 수 있는 다양한 다변량 공 정능력지수의 모형들이 제안되고 있다.

본 연구에서는 목표치로부터 품질의 변동과 그에 따른 경제적 손실까지도 고려한 유용한 정보력을 지닌 다양한 다변량 공정능력지수들 가운데 MC_pm, M C p m + , MC_pI의 3 가지 모형들을 중심으로 비교 분석하고자 한다. 즉, 이들 3가지 모형의 다변량 공정능력지수들이 가지는 특성들 과 그들의 유용성을 중심으로 서로 비교 분석하고자 한 다. 그리고 비교분석의 주요 초점은 다특성치들 간의 상 관관계를 반영하여 평가하는가, 목표치에 대한 공정평균 의 치우침에 따라 평가하는가, 품질변동에 따른 경제적 손실을 잘 반영하는가 그리고 목표치를 중심으로 최대손 실에 대한 손실함수의 형태가 좌우 대칭뿐만 아니라 비 대칭일 경우에도 평가 가능한가를 중심으로 공정관리상 태에 대하여 얼마나 민감하게 평가하는가를 비교 분석하 고자 한다.

2. 다변량 공정능력지수의 모델링

2.1 기호

2.2 모델링 방법론

<Figure 1>은 본 연구에서 비교 분석을 하고자 하는 다변량 공정능력지수들에 대한 모델링 방법론과 그들 간 의 관계를 집약하여 나타낸 그림이다. <Figure 1>의 우측 에 있는 3가지 모형의 다변량 공정능력 지수들은 좌측에 있는 전통적인 단변량 공정능력지수들을 벡터화하여 다 변량의 모형으로 확장한 개념이라 할 수 있다. 그리고 각 각의 다변량 모형들이 단변량 모형으로부터 어떻게 응용 되었는지에 대한 관련성을 보여주고 있다. Table 1

따라서 본 연구에서는 다변량 공정능력지수의 3가지 모형인 MC_pm, M C p m + , MC_pI를 중심으로 비교 분석하여 각각의 특징들을 제시하고자 한다.

다변량 공정능력지수의 일반적인 척도 개념은 규격의 허용오차영역과 공정영역의 면적 또는 부피의 비율로써 공정능력을 측정한다. Table 2

상기 <Figure 1>에서 다변량 모형의 MC_pm은 공정영역 에 대한 규격의 허용오차 영역을 수정한 영역의 비율로 측정한다. 이때의 공정영역은 99.73% 신뢰구간 내에서 측 정된 공정분포의 영역으로 [ ( X − μ ) T Σ T − 1 ( X − μ ) ≤ K ( n ) ) ] 에 의해 타원형의 면적 또는 부피를 의미한다. MC_pm은 단 변량 공정능력 지수 C_pm을 벡터의 개념으로 확장한 모형 으로 목표치로부터 공정평균이 얼마나 떨어져 있는가에 따라 공정능력을 평가하는 다변량 공정능력지수이다[10]. Table 3

M C p m + 는 MC_pm 모형으로부터 공정의 산포(Σ_T ) 대신 이차손실함수의 기대손실(E [ L Q ( X , T ) ])을 적용한 다변량 공정능력지수이다. 즉, 평균제곱 오차 매트릭스 Σ_T는 공 정평균이 목표치로부터 얼마나 떨어져 있는가에 대한 편차로써 이는 손실함수가 가지는 특징과 동일하다는 점이다.

따라서 이러한 유사성을 근거로 산포인 Σ_T 대신 단 변량의 Taguchi의 이차손실함수를 다변량으로 확장시 킨 기대손실을 적용하여 공정능력을 평가하는 모형이 다[2, 5].

MC_pI는 MC_pm 모형에서 공정의 산포(Σ_T ) 대신 역정규 손실함수의 기대손실(E [ L I ( X , T ) ])을 적용한 다변량 공정 능력지수이다. 여기서 역정규 손실 함수(INLF : Inverted Normal Loss Function)는 Spiring에 의해 제안되었으며 정 규분포의 확률밀도함수(p.d.f)의 역함수를 활용함으로써 Taguchi의 이차 손실함수의 대표적 특징과 동일한 특징 들을 가지고 있는 대안적 손실함수라고 할 수 있다[8, 9]. 즉, 역정규 손실함수(INLF)에서 손실은 항상 양수의 값 을 가지며 (- ∞, T] 구간에서는 감소하고 [T, ∞)구간에 서는 증가하는 성향을 나타내고, 목표치 T에서는 손실이 유일한 최소값을 가진다. 이러한 대표적 손실함수의 특 징 외에도 품질변동에 따른 손실을 정규분포의 p.d.f의 역함수를 이용함으로써 손실에 대하여 보다 합리적으로 설명할 수 있다는 것이다. 그리고 목표치 T_i를 중심으로 최대손실 A_j에 대하여 손실함수의 형태가 대칭과 비대칭 모두일 때 제약 없이 적용이 가능하다는 장점을 가진 모 형이다[4].

3. 비교분석

다변량 공정능력지수 MC_pm, M C p m + , MC_pI의 3가지 모 형을 중심으로 다음의 4가지 측면에서 이들의 특징들을 비교 분석하고자 한다. 그리고 시뮬레이션의 결과를 통 하여 3가지 모형들의 특징들을 비교하고자 한다.

본 비교 연구에 이용된 시뮬레이션은 다음의 공통적 가정과 범위를 전제로 한다.

3.1 상관계수 변화에 따른 비교

다특성치들간의 상관계수 ρ가 0, 0.3, 0.5, 0.8, 0.99와 같이 변화할 때 2변량(X ′ = [ x 1 , x 2 ])과 3변량(X ′ = [ x 1 , x 2 , x 3 ]) 모형에서의 공정능력지수 결과값이 어떻게 변화하는 지 비교해 보고자 한다. 이때 목표치와 공정평균의 치우침 은 없고(μ = T ) 손실함수가 목표치를 중심으로 서로 대칭 일 때를 기준으로 한 시뮬레이션 결과값을 보면 다음과 같다.

상관계수의 변화에 따른 특징을 비교를 보면, <Figure 2>에서 확연하게 보여주듯이 MC_pm은 다른 2개의 공정능 력지수들에 비하여 상관계수가 1에 가까워지게 되면 매우 급격하게 과대평가되고 있다는 것이다. 그에 반해 M C p m + 와 MC_pI는 상관계수의 변화에 따른 결과값들이 전반적으 로 크게 과대평가되지 않고 안정적으로 평가하고 있음을 큰 차이점으로 볼 수 있다.

3.2 목표치로부터 치우침 정도에 따른 비교

목표치로부터 공정평균의 치우침이 없을 때(μ = T)와 있을 때(μ ≠ T )를 중심으로 2변량과 3변량 공정능력지 수의 결과값을 비교해 보고자 한다. 이때 손실함수가 목 표치를 중심으로 서로 대칭일 때를 기준으로 상관계수의 변화에 따른 결과값은 다음과 같다. Figure 3

특히 목표치로부터 공정평균의 치우침이 있는 경우(μ ≠ T ), 공정평균이 목표치로부터 얼마나 떨어져 있는가의 정도(μ i − T i)에 따른 차이를 살펴보면 다음과 같다. 이때 비교하기 쉽도록 각 변량에 대한 평균과 목표치의 거리인 μ i − T i 값은 동일한 차이를 기준으로 변화를 주었다.

목표치로부터 공정평균에 대한 치우침 여부에 따른 공 정능력평가의 결과를 비교해 보면, MC_pm, M C p m + , MC_pI 모두 전반적으로 치우침이 있을 때(μ ≠ T)보다는 치우침 이 없을 때(μ = T )의 결과값이 더 좋은 성향을 나타내고 있다. 그리고 2변량과 3변량 모두에서 공정평균을 제외한 다른 공정조건 들이 같다는 가정하에서 이들 3가지 모형 간에 특징을 서로 비교해 보자면, MC_pm과 M C p m + 는 치우 침 유무에 따라 결과값이 큰 폭으로 변동하고 있는 반면 MC_pI는 변동의 폭이 작게 안정적으로 평가하고 있는 것을 알 수 있다. 또한 공정평균이 목표치로부터 얼마나 떨어져 있는가의 정도(μ i − T i)에 따른 변화를 보면 3가지 모형 모 두 목표치로부터 멀어질수록 공정능력을 좋지 않게 평가 하고 있다. 그리고 모형들 간에 특징을 살펴보면 MC_pI는 MC_pm와 M C p m + 에 비해 목표치로부터 멀어짐에 따른 결과 값의 기울기가 완만하게 나타나는 차이를 보인다. Table 4

3.3 경제적 손실에 따른 비교

최대손실 A의 변화에 따른 2변량과 3변량의 공정능력 지수 결과값의 변화를 비교해 보고자 한다. 목표치와 공 정평균의 치우침이 없고(μ = T) 손실함수가 목표치 중심 으로 서로 대칭이며 특성치들간의 상관계수가 ρ = 0.8일 때 를 기준으로 하였다. 최대손실 A는 2변량일 때 A ′ = A 1 , A 2 , A 3 , A 4이고 3변량일 때는 A ′ = [ A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 , A 7 , A 8 ],의 값을 대입한 결과값을 보면 다음과 같다. Figure 4

경제적 손실의 반영여부에 대하여 비교해 보면, <Figure 5>에서 MC_pm은 최대손실이 품질특성치에 따라 변할 때 그에 대한 경제적 손실을 반영하지 못하고 일률적인 같은 값으로 평가하고 있는 것을 볼 수 있다. 하지만 M C p m + 와 MC_pI는 최대손실 A의 변화에 따른 경제적 손실을 잘 반영 하여 손실비용이 증가할수록 공정능력을 좋지 않게 평가 하고 있음을 확인할 수 있다.

3.4 손실함수의 대칭과 비대칭에 따른 비교

공정산포 대신 손실함수의 기대손실을 적용하고 있는 M C p m + 와 MC_pI의 2가지 모형을 중심으로 비교하고자 한다. 여기서 손실함수의 형상은 목표치 T_i 를 중심으로 최대손 실 A_j에 대하여 모두 같은 값을 가지는 경우의 좌우대칭 일 때와 품질특성에 따라 해당 구간별로 서로 다르게 손 실비용이 발생할 경우의 비대칭일 때로 나누어 비교한다. 그리고 이러한 손실함수의 대칭성과 비대칭성을 얼마나 잘 반영하여 공정능력을 평가 하는가를 비교하고자 한다. 이때 목표치와 공정평균의 치우침이 없고(μ = T ) 다특성 치들간의 상관계수 ρ가 0, 0.3, 0.5, 0.8, 0.99로 변할 때를 기준으로 한 결과값은 다음과 같다.

<Figure 6>은 2변량과 3변량일 때 각각 M C p m + 와 MC_pI 의 대칭(실선)과 비대칭(점선)을 모두 나타낸 그래프이다.

손실함수에 대한 대칭성과 비대칭성 측면에서 비교해 보면, M C p m + 는 Taguchi의 이차손실함수를 다변량화한 기 대손실을 적용함에 있어 손실계수 k_i는 대칭과 비대칭 모 두 동일한 값의 최대손실비용 A에 의해 결정된다. 그렇기 때문에 상관계수가 변화함에 따라 M C p m + 값은 변하지만 손실 함수에 대한 대칭성과 비대칭성에 따른 M C p m + 값은 양쪽 모두 동일한 값으로 나타내어 이를 반영하지 못하고 있음을 알 수 있다. 그리고 <Figure 6>에서 2변량과 3변량 의 M C p m + 값이 대칭(Symmetrical)과 비대칭(Asymmetrical) 일때 실선과 점선이 겹쳐지면서 하나의 선으로 그려진 것 을 볼 수 있는데 이는 그 이유에서이다. 반면 MC_pI는 각 각의 특성치마다 목표치 T_i 를 중심으로 서로 다른 최대 손실 A_j값을 그대로 용이하게 식에 대입시켜 공정능력지 수를 구할 수 있기 때문에 손실함수의 형태가 좌우 대칭 일 때나 비대칭일 때 모두 제약없이 쉽게 반영하여 평가 할 수 있다. 그리고 <Figure 6>을 보면 모든 구간에서 최 대 손실 A의 값이 8로 동일하게 발생되는 대칭 구조의 MC_pI (Sym)보다는 품질특성치마다 손실이 1(작은 값)부 터 8(큰 값)까지 다양한 값의 손실 정도를 민감하게 반영 하고 있는 MC_pI(Asym)의 공정능력지수 결과값이 전반적 으로 더 좋게 나타내고 있음을 알 수 있다. Table 5

4. 수치 예

본 수치 예는 Wang and Chen[12]의 논문에서 사용되 었던 3변량의 Case Study로 실제 대만(Taiwan)에 있는 플 라스틱 제품 제조사의 생산 공정으로부터 수집된 데이터 를 사용하였다.

해당 플라스틱 제품의 생산공정에서 관리하고 있는 중 요 품질관리 변수들은 깊이(D), 길이(L), 폭(W)의 3변량 이다. 이들 D, L 및 W의 각각 규격은 (2.1, 2.3), (304.5, 305.1), (304.5, 305.1)이고 각 변수들의 목표치는 T ′ = [ 2.2 , 304.8 , 304.8 ] 이다. 공정에서 샘플링된 50개의 제품 으로부터 측정된 D, L, W의 데이터들은 정규분포를 따르 며, 이들 측정치로부터 구한 3변량의 평균벡터와 공분산 매트릭스는 다음과 같다.

그리고 이들 3변량의 손실비용은 품질특성치마다 차 이가 있으며 규격 허용오차 범위 내에서의 구간별 최대 손실비용($)은 A ′ = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 라고 가정한다.

깊이(D), 길이(L), 폭(W)의 3변량에 대한 다변량 공정능 력지수 MC_pm, M C p m + , MC_pI 를 구해보면 MC_pm = 1.2577, M C p m + = 0.00008, MC_pI = 0.0020의 다변량 공정능력지수 결과값을 구할 수 있다.

목표치로부터 공정평균의 치우침만을 고려하여 공정능 력을 평가하고자 한다면 MC_pm = 1.2577의 값으로 평가될 수 있다. 그러나 기업에서 목표치로부터 멀어짐에 따른 손실의 정도가 품질평가에 중요한 요소라면 이러한 경제적 손실 정보가 반영된 M C p m + = 0.00008과 MC_pI = 0.0020의 결과 값을 고려하여 공정능력을 평가하는 것이 바람직할 것이다.

만약 경제적 손실에 있어 다특성치 간에 손실비용이 다 르고 목표치로부터 멀어짐에 따라 손실비용에 차이가 있다 면 M C p m + 보다는 MC_pI의 다변량 공정능력지수가 유용할 것이다. M C p m + 는 목표치로부터 멀어질수록 손실이 커지고 다특성치마다 그 손실 정도가 다름에도 불구하고 그 중에 가장 높게 발생된 최대손실비용에 의해 손실계수 k_i값을 결정하여 적용함으로써 손실함수에 대한 비대칭성을 제대 로 반영하지 못하고 있기 때문이다. 반면 MC_pI는 다특성치 가 가지는 다양한 손실비용과 목표치에 따른 손실의 차이 를 보다 용이하고 명확하게 적용하여 공정능력을 구할 수 있다는 장점을 지니고 있다. 따라서 MC_pI 모형이 다른 2가 지 모형 MC_pm과 M C p m + 에 비해 가장 많은 정보력을 가지고 공정능력을 평가한다고 볼 수 있을 것이다.

5. 결 론

본 연구에서는 3가지 모형인 MC_pm, M C p m + , MC_pI를 중 심으로 한 다변량 공정능력지수들의 특징들을 비교해 보았 다. 이들 모두는 공통적으로 목표치로부터 품질변동을 모 두 잘 반영하고 있는 다변량 공정능력지수 모형들이다. 이 러한 모형들에 대하여 상관계수의 변화, 목표치로부터의 치우침, 경제적 손실의 반영 그리고 손실함수에 대한 대칭 성과 비대칭성의 적용 여부의 4가지 측면을 중심으로 다변 량 공정능력지수들이 어떠한 특징들을 가지고 있는지를 비 교 분석하였다. 그리고 그 가운데에서도 특히 경제적 손실의 정도를 반영하는 측면에서 손실함수의 형상이 대칭 또는 비대칭적 구조에 상관없이 품질특성치마다 서로 다른 가치 에 따라 발생하는 다양한 손실비용을 공정평가에 반영할 수 있는가에 관한 비교분석에서는 3가지의 다변량 모형들 중에 분명한 차이점과 장점을 확인할 수 있었다.

상관계수의 변화에 따라 비교 결과를 정리하면, MC_pm은 상관계수가 1에 가까워지게 되면 급격하게 과대평가하는 반면 M C p m + 와 MC_pI는 상관계수의 변화에 따른 결과값들이 전반적으로 크게 과대평가되지 않고 안정적으로 평가한다 는 점을 가장 큰 차이점으로 볼 수 있다. 목표치로부터의 치우침에 대한 반영 결과를 비교해 보면, MC_pm, M C p m + , MC_pI 모두 전반적으로 치우침이 있을 때(μ ≠ T )보다는 치우침이 없을 때(μ = T )에 더 좋은 결과값을 나타내고 있다. 그 중에 특히 MC_pI 다른 2가지의 모형들에 비해 치 우침 유무에 따른 평가 결과값의 변동의 폭이 작아 안정적 으로 평가한다는 차이점을 가지고 있다. 경제적 손실의 정 도를 반영하는 측면에서의 특징들을 비교해 본 결과, MC_pm은 경제적 손실(최대손실비용 A)을 전혀 반영하지 못하고 있는 반면 M C p m + 와 MC_pI는 경제적 손실의 변화와 그 정도에 따라 잘 반영하여 평가하고 있음을 확인하였다. 그리고 M C p m + 와 MC_pI의 두 모형을 중심으로 손실 함수에 대한 대칭성과 비대칭성 측면에서 비교한 결과, M C p m + 는 경제적 손실을 반영하고는 있으나 이차손실함수의 특성으 로 인해 각각의 특성치와 관련된 최대손실이 같은 값을 가지는 좌우대칭일 때만 정확한 평가가 가능하다는 한계 점을 가지고 있었다. 반면 MC_pI는 각각의 특성치마다 목 표치를 중심으로 서로 다르게 발생할 수 있는 최대손실들 을 그대로 수리적 모형에 용이하게 적용시킬 수 있으며 손실함수의 형상이 좌우대칭 또는 비대칭과 같은 조건에 제약 받지 않고 공정을 평가할 수 있다는 장점을 가진 다 변량 공정능력지수라 할 수 있다.

본 연구에서 시뮬레이션을 통한 MC_pm, M C p m + , MC_pI에 대한 4가지 측면에서의 특징들을 비교 분석한 결과들을 모두 종합적으로 살펴본 결과 MC_pI가 다른 두 가지 유형의 공정능력지수들에 비하여 생산 현장에서 요구되는 다양한 관리 변수들과 시시때때로 변화할 수 있는 공정조건에 보다 민감하면서도 안정적으로 공정능력을 잘 평가하는 좋은 척 도로서의 특징들을 갖추고 있다고 볼 수 있겠다. 그리고 무엇보다 MC_pI는 다특성치 마다 가지고 있는 가치에 따라 서로 다르게 발생하는 다양하고 복잡한 손실비용을 쉽게 잘 반영하면서 손실의 정도에도 민감하게 공정능력을 평가 가능하다는 장점을 가지고 있다. 그리고 MC_pI는 치우침이 있을 때(μ ≠ T )보다는 치우침이 없을 때(μ = T ) 더 좋은 평가 결과를 나타내며 비대칭의 손실비용이 클 때 보다는 대칭의 손실비용이 작을수록 더 좋게 평가하고 있다. 또한 MC_pI은 산포 대신 역정규 손실함수의 기대손실을 적용함 으로써 대칭과 비대칭의 제약성을 받지 않으면서 유연성 있게 사용할 수 있다. 그리고 생산공정에서 관리해야 할 특성치가 많아지더라도 다변량 분석기법을 기반으로 하기 때문에 보다 다양하게 응용할 수 있어 필요에 따라 넓게 확장이 가능하다고 볼 수 있다. 따라서 MC_pI는 본 연구에서 비교한 3가지 모형들 가운데 가장 많은 강점을 가진 다변량 공정능력지수 모형으로 제안할 수 있다.