Journal Search Engine

ISSN : 2005-0461(Print)
ISSN : 2287-7975(Online)

Journal of Society of Korea Industrial and Systems Engineering Vol.41 No.1 pp.50-58
DOI : https://doi.org/10.11627/jkise.2018.41.1.050

A Binomial Weighted Exponential Smoothing for Intermittent Demand Forecasting

Chunghun Ha^†

School of Information & Computer Engineering, Hongik University

chunghun.ha@hongik.ac.kr

^†Corresponding Author : Chunghun Ha

Received 30/11/2017 Finally Revised 14/02/2018 Accepted 15/02/2018

Abstract

Intermittent demand is a demand with a pattern in which zero demands occur frequently and non-zero demands occur sporadically. This type of demand mainly appears in spare parts with very low demand. Croston’s method, which is an initiative intermittent demand forecasting method, estimates the average demand by separately estimating the size of non-zero demands and the interval between non-zero demands. Such smoothing type of forecasting methods can be suitable for mid-term or long-term demand forecasting because those provides the same demand forecasts during the forecasting horizon. However, the smoothing type of forecasting methods aims at short-term forecasting, so the estimated average forecast is a factor to decrease accuracy. In this paper, we propose a forecasting method to improve short-term accuracy by improving Croston’s method for intermittent demand forecasting. The proposed forecasting method estimates both the non-zero demand size and the zero demands’ interval separately, as in Croston’s method, but the forecast at a future period adjusted by binomial weight according to occurrence probability. This serves to improve the accuracy of short-term forecasts. In this paper, we first prove the unbiasedness of the proposed method as an important attribute in forecasting. The performance of the proposed method is compared with those of five existing forecasting methods via eight evaluation criteria. The simulation results show that the proposed forecasting method is superior to other methods in terms of all evaluation criteria in short-term forecasting regardless of average size and dispersion parameter of demands. However, the larger the average demand size and dispersion are, that is, the closer to continuous demand, the less the performance gap with other forecasting methods.

Key Words : Intermittent Demand , Demand Forecasting , Spare Part Management , Product Obsolescence

간헐적 수요예측을 위한 이항가중 지수평활 방법

하정훈^†

홍익대학교 정보컴퓨터공학부 산업공학전공

초록

키워드 :

This article has been cited by 0 article in crossref

Cited-By

Funding:

1. 서 론

간헐적 수요는 수요가 발생하는 시점이 비결정적(nondeterministic) 이고 영수요(zero-demand) 기간이 빈번히 존 재하는 패턴의 수요이다. 이러한 수요는 주로 A/S(after- market service) 부품 또는 예비부품(spare part)에 자주 발 생하는 데, 이러한 부품은 수요가 필요시에만 발생하고 수요의 양도 적은 저수요의 특성을 갖는다.

공급사슬이 수요의 변동에 대응할 수 있는 대표적인 정책은 안전재고, 조달 리드타임, 그리고 수요예측이 있 다[11]. 하지만, 간헐적 수요는 안전재고와 조달 리드타임 으로 대응하는 데 한계가 있다. 간헐적 수요 형태를 갖 는 A/S 부품 또는 예비부품의 수요는 시장에 판매된 모제 품과 관련이 있다. 이러한 부품은 모제품의 수리와 유지 보수에 사용되기 때문에 모제품의 판매가 중단되더라도 모제품이 시장에 존재하면 지속적으로 수요가 발생한다. 시장에는 모제품의 품종이 많기 때문에 부품의 종류(stock keeping unit; SKU)도 많다. 이러한 상황에서 수요의 변동 성을 안전재고로 대응하면, 안전재고로 인한 재고의 양과 재고비용이 급격히 증가한다. 또한, 이러한 부품들은 모 제품의 진부화(obsolescence)에 항상 노출되어 있으므로 많은 재고를 보유하는 것은 위험도가 증가한다. 조달 리 드타임을 줄여서 대응하는 것 또한 용이하지 않은 데, 그 이유는 저수요의 제품을 수시로 생산하는 것은 공급업체 에게 상당히 비효율적이기 때문이다[11].

저수요 품목에서 간헐적 수요의 패턴이 자주 발생하는 이유는 다음과 같다. 저수요의 품목을 빈번히 생산하는 것은 제조비용 부담이 크기 때문에 부품 제조업자는 주 문량이 손익분기점을 초과할 때만 부품을 생산하게 되고, 이는 조달리드타임을 증가시킨다. 부품의 구매자는 조달 리드타임이 길기 때문에 수요에 대응하기 위해 안전재고 를 증가시킨다. 이는 부품주문을 더욱 불규칙적으로 만 든다. 이러한 상황이 공급사슬에서 채찍효과로 확산되면 주문과 생산이 일정한 주기 또는 시간간격을 두고 발생 하는 간헐적 수요가 발생한다.

간헐적 수요에 대응하는 효과적인 대안 중 하나는 수 요예측의 정확도 증대이다. 간헐적 수요의 예측에 관한 연구는 Croston[5]이 제안한 2중 지수평활방법 이후 크게 확대되어 왔다. Croston의 방법의 기본적인 아이디어는 지수평활을 비영수요(non-zero demand)의 크기와 영수요 (zero-demand) 주기에 각각 분리하여 적용하는 것이다. Croston의 방법이 기존보다 우수한 이유는 주기의 반영에 있다. 영수요가 빈번히 발생하는 간헐적 수요에서 기존의 이동평균이나 지수평활은 수요를 과다예측하게 되지만 Croston의 방법은 이러한 문제점을 방지하게 된다. 이 후 Croston의 방법의 편향(bias)을 제거하고 예측의 정확성을 향상하기 위한 여러 가지 변형된 방법이 제안되었다.

단순 이동 평균이나 단순 지수 평활과 같은 평활형 수 요예측은 기존의 수요의 패턴이 연장됨을 가정한 것이기 때문에 일반적으로 6 단위구간(time buckets) 이내의 예 측 시평(forecasting horizon)을 갖는 단기간 예측을 목표 로 한다. 간헐적 수요를 위한 기존의 평활형 수요예측 방 법들은 예측 시평 동안의 평균 수요를 예측한다. 즉, 시 평에서 수요예측치는 모두 동일하다. 장기수요예측 관점 에서는 이러한 평균방법이 적합할 수 있으나 단기수요 예측을 목표로 하는 평활형 예측에서는 예측의 정확도를 감소시키는 요인이 된다.

본 논문에서는 간헐적 수요예측을 위해 기존의 평활 형 수요예측 방법을 보정하여 단기예측의 정확도를 향상 시키는 방법을 제안한다. 제안하는 방법의 기본 개념은 비영수요의 크기와 영수요 구간은 Croston’s의 방법을 적 용하여 추정하고 각 단위구간의 예측은 이항분포를 이용 하여 가중치를 변경하는 것이다. 만약, 간헐적 수요가 주 기적인 속성을 갖거나 비영수요의 주기가 크다면, 제안 하는 방법을 통하여 단기예측의 정확도는 향상시킬 수 있다. 본 논문은 다음과 같이 구성되어 있다. 제 2장에서 는 간헐적 수요예측을 위한 기존의 평활형 예측방법을 소개한다. 제 3장은 본 논문에서 제안하는 이항가중 지 수평활 방법을 설명한다. 제 4장에서는 예측방법의 평가 를 위한 간헐적 수요 생성방법과 평가 척도와 같은 평가 환경을 소개하고 제 5장에서는 평가결과를 분석한다. 제 6장은 본 논문의 성과를 요약하고 향 후 연구에 대하여 논한다.

2. 간헐적 수요를 위한 단기예측방법

수요예측의 방법은 다양하지만[2, 16], 본 논문은 간헐 적 수요예측에 주로 활용하는 평활형 예측에 집중하여 설명 한다. 단순 지수 평활(single exponential smoothing, SES)은 다음과 같은 관계식을 갖는다.

\begin{matrix} {\hat{D}}_{t + 1} = α D_{t} + (1 - α) {\hat{D}}_{t} \\ {\hat{D}}_{t + τ} = {\hat{D}}_{t + 1} \end{matrix}

여기서, D_t는 기간 t에서 실제 수요, h는 예측 시평(forecasting horizon), $t + τ (τ \leq h)$ 는 예측 시점, ${\hat{D}}_{t + τ}$ 는 기간 t + τ 에서 예측수요, α∈(0, 1)는 평활 계수이다. SES 방법은 수요가 정규분포를 따를 때 적합한 방법이므로 간헐적 수 요예측에서는 편향이 존재하고 예측오차가 크다.

Croston[5]은 저수요 제품에 대해서 새로운 수요예측 방 법을 제안하였다. Croston의 방법(CR)은 두 가지 SES의 조합으로 구성되어 있는 데, 하나는 비영수요의 크기를 지 수평활하는 것이고, 다른 하나는 비영수요간 구간, 즉 영 수요구간의 크기를 지수 평활하는 것이다. Croston의 방법 은 다음과 같은 관계식을 갖는다.

{\hat{X}}_{t + 1} = {\begin{array}{l} {\hat{X}}_{t}, & if D_{t} = 0 \\ α D_{t} + (1 - α) {\hat{X}}_{t}, & o t h e r w i s e \end{array}

(1)

{\hat{I}}_{t + 1} = {\begin{array}{l} {\hat{I}}_{t}, & if D_{t} = 0 \\ β I_{t} + (1 - β) {\hat{I}}_{t}, & o t h e r w i s e \end{array}

(2)

여기서, ${\hat{X}}_{t}$ 는 기간 t에서 비영수요의 추정치, t_l,t는 기간 t 이전의 마지막 비영수요 발생기간, I_t 는 기간 t 이전의 영수요 구간의 크기, 즉, $I_{t} = t - t_{l, t} + 1, {\hat{I}}_{t}$ 는 기간 t에서 I_t 의 추정치, $β \in (0, 1)$ 는 평활 계수이다. 영수요가 발생하면 추 정치는 그대로 유지되고 비영수요가 발생할 때만 추청치 를 갱신한다. 예측 수요는 다음과 같이 계산한다.

{\hat{D}}_{t + τ} = \frac{{\hat{X}}_{t + 1}}{{\hat{I}}_{t + 1}}

(3)

Syntetos and Boylan(SBA)[15]은 Croston의 방법은 편 향이 존재하여 과다예측을 발생시킴을 증명하고, 편향을 상쇄하기 위한 보정 방법을 제안하였다. SBA는 수요예 측치를 추정할 때, Equation (3)을 다음의 식과 같이 보정 하여 적용한다.

{\hat{D}}_{t + τ} = (1 - \frac{β}{2}) \frac{{\hat{X}}_{t + 1}}{{\hat{I}}_{t + 1}}

하지만, Teunter and Sani[18]는 SBA 역시 편향이 존재 함을 보이고 편향의 관점에서는 CR, SBA, 그리고 Leven and Segerstedt[12] 보다 Equation (4)의 수정된 보정법(SA) [13, 17, 18]이 우수함을 입증하였다.

{\hat{D}}_{t + τ} = (1 - \frac{β}{2}) \frac{{\hat{X}}_{t + 1}}{{\hat{I}}_{t + 1} - β / 2}

(4)

Leven and Segerstedt[12]는 CR과는 다르게 일반 수요와 간헐적 수요에 모두 사용할 수 있는 예측방법을 제안하였 다. 이 방법은 만약 수요가 간헐적으로 발생하지 않고 모 든 기간에 수요가 발생한다면, SES와 동일하게 된다. 그러 나 이 방법 또한 과다예측문제가 존재한다. Wallstrom and Segerstedt[20]은 과다예측 원인이 비영수요의 크기와 영 수요구간 사이의 종속성에 기인함을 밝히고 종속적일 경 우 다음과 같은 수정안(LS)을 제시하였다.

\begin{array}{l} {\hat{D}}_{t + 1} = {\begin{array}{l} {\hat{I}}_{t} & if D_{t} = 0 \\ α \frac{D_{t - 1}}{I_{T}} + (1 - α) {\hat{D}}_{t}, & o t h e r w i s e \end{array} \\ {\hat{D}}_{t + r} = {\hat{D}}_{t + 1} \end{array}

Teunter et al.[19]은 확률의 개념을 도입하여 부품이 진부화가 진행될 때 적합한 간헐적 수요예측 방법(TSB) 을 제안하였다. 이 방법의 기본 아이디어는 수요가 발생 하였을 경우에는 다음 기간에 수요가 발생할 확률이 증 가하고 수요가 없을 경우에는 다음에 수요가 발생할 확 률이 감소한다는 것이다. 다음과 같은 식으로 예측이 이 루어진다.

\begin{array}{l} {\hat{X}}_{t + 1} = {\begin{array}{l} {\hat{X}}_{t} & if D_{t} = 0 \\ α D_{t} + (1 - α) {\hat{X}}_{t}, & o t h e r w i s e \end{array} \\ {\hat{P}}_{t + 1} = {\begin{array}{l} (1 - γ) {\hat{P}}_{t}, & if D_{t} = 0 \\ γ + (1 - γ) {\hat{P}}_{t}, & o t h e r w i s e \end{array} \end{array}

(5)

{\hat{D}}_{t + τ} = {\hat{P}}_{t + 1} \cdot {\hat{X}}_{t + 1}

(6)

여기서, ${\hat{P}}_{t}$ 는 기간 t에서 비영수요의 발생확률의 추정치 이고 $γ \in (0, 1)$ 는 평활 계수이다.

최근 Prestwich et al.[13]은 진부화를 고려한 간헐적 수 요예측 방법, 소위 쌍곡 지수평활(Hyperbolic Exponential Smoothing; HES)을 제안하였다. 이 방법은 베타 사전분포 (Beta prior distribution)를 이용한 베이지안 추론을 이용 하는 데, 근사적 비편향(approximately unbiased) 추정이다. HES는 비영수요의 예측치와 영수요구간의 추정치는 CR 을 그대로 적용하고 예측추정치로서 다음의 식을 사용한다.

{\hat{D}}_{t + τ} = \frac{{\hat{X}}_{t + 1}}{{\hat{I}}_{t + 1} + \frac{β (I_{t} - 1)}{2}}

이러한 평활형 수요예측 방법 외에 간헐적 수요예측을 위해 서포트 벡터 머신(support vector machine)[3, 7], 인 공신경망[4, 6,9], 그리고 수정된 Holt’s 방법[1] 등이 제 안되었다. 그러나, 이러한 비 평활형 예측 방법들은 기본 적으로 복잡한 학습방법, 업데이트 방법, 그리고 추정 메 커니즘을 가지고 있다. 그 성능이 아무리 우수할지라도 구현이 복잡하고 많은 수요자료를 요구하므로 SKU가 큰 A/S 부품이나 예비부품에는 실제로 적용하기 어렵다. 이 러한 연유로 본 논문에서는 간헐적 수요의 단기예측에 적합한 평활형 예측 방법으로 범위를 한정한다.

3. 이항가중 지수평활 방법

3.1. 이항가중 지수평활 방법

본 논문에서는 CR을 기본으로 하여 간헐적 수요의 단 기예측에 적합한 이항가중 지수평활(Binomial Weighted Exponential Smoothing; BWES) 방법을 제안한다. 기존의 평활형 예측방법들은 시평 동안의 평균 수요를 제공하기 때문에 예측시점까지의 정보를 평균하여 예측치를 추정 한다. 반면, BWES의 기본적인 방향은 예측시점에서 확 보한 유용한 정보, 즉, 비영수요의 추정치와 영수요 구간 의 추정치를 단기예측의 정확도를 향상시키도록 적극 활용 하자는 것이다. 간헐적 수요가 저수요 품목에 대해 공급 사슬의 채찍효과(bullwhip effects)로 인하여 발생하였다 고 가정하자. 만약, 영수요 구간의 추정이 정확하고 그 구간이 크다면, 비영수요의 발생은 주기적인 패턴을 가 질 것이다. 이는 최근에 비영수요가 발생하였다면, 가까 운 기간에는 비영수요가 발생할 확률이 낮고 기간이 멀어 질수록 수요가 발생할 확률이 높아짐을 의미한다. 예를 들어, 비영수요가 기간 t₀에서 발생하였고, 최근 영수요 구간의 추정치 ${\hat{I}}_{t_{0} + 1}$ 가 10이라고 가정하자. 그러면, 다음 기간 t₁에서 비영수요가 발생할 확률은 매우 낮고 기간 t₁₀에 임박할수록 비영수요가 발생할 가능성은 높아진다.

BWES은 이러한 견지에서 비영수요의 추정치 ${\hat{X}}_{t + 1}$ 과 영수요 구간의 추정치 ${\hat{I}}_{t + 1}$ 은 Equation (1)과 Equation (2) 의 CR의 방법을 그대로 활용하고, 시평에서의 수요예측 치 ${\hat{D}}_{t + τ}$ 는 Equation (3)을 Equation (7)과 (8)로 대체한다.

{\hat{D}}_{t + τ} = w_{t + τ} \cdot \frac{{\hat{X}}_{t + 1}}{{\hat{I}}_{t + 1}}

(7)

w_{t + τ} = {\hat{I}}_{t + 1} \cdot (\frac{⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋}{k}) θ^{k} {(1 - θ)}^{⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋ - k}

(8)

여기서, $⌊ x ⌋$ 는 x보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 의미하 고, $k \in {1, 2, \dots, ⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋}$ 이고 $\sum_{k = 1}^{⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋} w_{t + τ} = {\hat{I}}_{t + 1}$ 이 성립 한다. 가중치 $w_{t + τ}$ 는 이항분포(Binomial distribution)의 확 률밀도함수에 영수요구간 추정치 ${\hat{I}}_{t + 1}$ 을 곱한 것과 동일 하다. 수요예측은 예측 시평 h의 모든 기간에서 이루어져 야 하므로 가중치 $w_{t + τ}$ 또한 시평 h의 모든 기간에서 존재 해야 한다. 그러나 이항분포의 확률밀도함수는 $k \in {1, 2, \dots, ⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋}$ 에서만 존재하므로 $h > ⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋$ 인 경우 예측치가 존재하지 않는 구간이 발생한다. 또한 가중치 $w_{t + τ}$ 의 크기 는 마지막 발생한 비영수요기간 $t_{l, t + τ}$ 에 의존하므로 이를 보정해 주어야 한다. 이 두 가지 사항을 고려하면 k는 나 머지(modulo)를 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

k = (t + τ - t_{l, t + τ} + 1) - ⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋ ⌊ \frac{t + τ - t_{l, t + τ} + 1}{{\hat{I}}_{t + 1}} ⌋

여기서, 첫 번째 항은 예측하고자 하는 기간 t + τ와 마지막 비영수요 발생 시점 $t_{l, t + τ}$ 와의 차이, 즉 영수요구간의 크기 를 나타낸다. 두 번째 항은 영수요 구간 예측치 $⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋$ 를 활용하여 k에 주기성을 부여하는 것이다. 따라서, k는 $(t + τ - t_{l, t + τ} + 1)$ 를 $⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋$ 로 나눈 나머지와 거의 같다. θ는 이항분포에서는 발생확률을 나타내는 파라미터이나 Equation (8)에서는 $w_{t + τ}$ 의 모양을 결정하기 위한 파라미터로 사용 된다. <Figure 1>은 $⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋$ 가 10인 경우 θ = (0.1, 0.5, 0.9) 에 따른 $w_{t + τ}$ 의 변화를 보여주고 있다. <Figure 1>에서 확 인할 수 있듯이 $w_{t + τ}$ 는 $⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋$ 를 주기로 반복되고 있으며, θ가 작을수록 주기의 전반부에 가중치가 치중되고 θ가 클 수록 주기의 후반부에 가중치가 치중된다.

3.2. 진부화를 고려한 이항가중 지수평활 방법

간헐적 수요를 갖는 부품은 모제품의 진부화의 가능성 에 항상 노출되어 있다[19]. 만약 부품의 진부화까지 고려 한다면 이를 목적으로 설계된 TSB의 방법을 병합하여 적용 할 수 있다. 우리는 이 방법을 BWESO(BWES considering Obsolescence)라고 명명한다. 이 경우 파라미터 갱신은 ${\hat{X}}_{t}$ , ${\hat{I}}_{t}$ , ${\hat{P}}_{t}$ 에 대하여 Equation (1), (2), (5)를 동시에 실행하여야 한다.

BWESO의 예측 수요는 Equation (6)과 (7)을 결합하여 Equation (9)과 같이 계산한다.

{\hat{D}}_{t + τ} + w + t \cdot {\hat{P}}_{t + 1} \cdot {\hat{X}}_{t + 1}

(9)

3.3. 이항가중 지수평활 방법의 편향

간헐적 수요예측에서 편향은 장기적 성능에 중요한 영향을 미치므로 반드시 검토되어야 한다. BWES의 예 측치에 대하여 편향을 계산하기 위해 간헐적 수요가 정 상수요(stationary demand)이고 I_t 와 X_t가 i.i.d.라고 가정 하자. 그러면, 예측치 ${\hat{D}}_{t + τ}$ 의 기대값은 다음과 같이 계산 된다.

E [{\hat{D}}_{t + τ}] = E [w_{t + τ} \cdot \frac{{\hat{X}}_{t + 1}}{{\hat{I}}_{t + 1}}] = E [w_{t + τ}] \cdot E [\frac{{\hat{X}}_{t + 1}}{{\hat{I}}_{t + 1}}]

우선, 가중치의 기대값 E [ $w_{t + τ}$ ]를 계산하자. $w_{t + τ}$ 은 ${\hat{I}}_{t + 1}$ 마다 주기적으로 반복되어 $E [w_{t + τ} | τ \leq \infty] = E [w_{t + τ} | τ \leq {\hat{I}}_{t + 1}]$ 가 성립된다. 계산상의 편의를 위하여 τ ≤ ${\hat{I}}_{t + 1}$ 인 자연수이고 현재시점 t₀에서 비영수요가 발생하였다고 가 정하면, $t_{l, t_{0}} = t_{0}$ 가 되므로 k = τ가 된다. 또한, $w_{t + τ}$ 는 모 든 구간에서 동일한 확률로 발생하므로, 각 기간에 발생할 확률은 $\frac{1}{{\hat{I}}_{t + 1}}$ 이 된다. 그러면, E [ $w_{t + τ}$ ]는 기대값의 정의와 이항정리(Binomial theorem)에 의하여 다음과 같이 계산 할 수 있다.

\begin{matrix} E [w_{t + τ}] = \sum_{τ = 0}^{⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋} [(\begin{matrix} ⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋ \\ τ \end{matrix}) θ^{τ} {(1 - θ)}^{⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋ - τ} \frac{1}{{\hat{I}}_{t + 1}}] \\ = \sum_{τ = 0}^{⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋} [(\begin{matrix} ⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋ \\ τ \end{matrix}) θ^{τ} {(1 - θ)}^{⌊ {\hat{I}}_{t + 1} ⌋ - τ}] \\ = 1 \end{matrix}

E [ $w_{t + τ}$ ]는 불편 추정량이지만 $E [\frac{{\hat{X}}_{t + 1}}{{\hat{I}}_{t + 1}}]$ 는 Teunter and Sani[18]가 지적한 바와 같이 편향을 가지고 있다. 이를 보 정하기 위하여 Equation (4)와 같이 SA를 적용하면 BWES 는 불편 추정량이 된다.

{\hat{D}}_{t + τ} = w_{t + τ} \cdot (1 - \frac{β}{2}) \frac{{\hat{X}}_{t + 1}}{{\hat{I}}_{t + 1} - β / 2}

BWESO에서는 다음과 같이 편향을 계산 할 수 있다. 정상수요를 가정하면 $E [{\hat{P}}_{t}] = p$ 이다. 여기서, p는 수요의 발생확률이다. 그러면, $E [{\hat{P}}_{t + 1}] = \sum_{i = 0}^{\infty} γ {(1 - γ)}^{i} p = p$ 이므로 [19] BWESO 예측치의 편향은 다음과 같다.

E [{\hat{D}}_{t + τ}] = E [w_{t + τ}] \cdot E [{\hat{P}}_{t + 1}] \cdot E [{\hat{X}}_{t + 1}] = p u

따라서, BWESO 예측치 또한 정상수요에 대하여 불편 추정량이다.

4. 모의실험 환경

4.1. 간헐적 수요

Snyder et al.[14]은 간헐적 수요에 대하여 두 가지 통계 적 모델을 제시하였다. 연속시간 모델은 단위기간 동안의 주문횟수가 포아송 분포(Poisson distribution)를 따른다. 만 약 모든 수요의 크기가 1이면 간헐적 수요는 포아송 분포를 따르고, 수요의 크기가 1이 아닌 대수분포를 따르면 수요 는 음이항 분포(Negative Binomial distribution)를 따른다. 이산시간 모델은 주문이 특정한 주기에만 발생하며, 그 때 수요의 크기는 이동 포아송 분포(shifted Poisson distribution) 를 따른다. 이 모델의 간헐적 수요는 hurdle shifted Poisson process로 알려져 있다. 본 논문에서는 연속시간모 형인 음이항분포를 적용한다. 음이항 분포 NB(r, p)는 두 개의 파라미터를 갖는다. 여기서, r은 베르누이 시행의 목 표 성공 회수이고 p는 각 시행의 성공확률이다. 하지만, NB(r, p)를 사용하면, 특성에 따른 수요를 생성하기 어려 우므로 본 실험에서는 re-parameterization[10]을 통하여 평 균과 분산(dispersion)의 정도를 조정할 수 있는 NB(μ, κ) 를 적용하였다. 여기서, μ는 수요의 평균으로서 r(1 - p)/p 이고 κ는 수요의 집중도를 나타내는 분산(dispersion) 파라 미터이다. 단위기간은 주(week)를 적용한다.

통계적 모형은 간헐적 수요의 특성에 대한 통계적인 이론을 제공하긴 하지만, 간헐적 수요의 발생에 대한 메 커니즘을 설명할 수 없을 뿐만 아니라 실증 데이터를 통 한 검증도 미비하다. Wallstrom and Segerstedt[20]도 비 영수요의 크기와 영수요구간의 크기는 독립적이지 않음 을 지적하였다. 이에 우리는 연속시간 모형 외에 시뮬레 이션을 통한 채찍효과 반영 간헐적 수요를 발생시켜 검 증에 활용한다. 채찍효과 모형의 수요 생성방법은 단위 기간은 일(day)에서 Poisson(μ/7)을 따르는 수요를 발생 시키고 주간 누적 수량이 임계량 $N (\frac{1}{κ}, \frac{1}{2 κ})$ 미만이면 수 요를 다음 주로 이월하고 초과하면 기간의 마지막에 누 적수요를 발생시킨다. 이로써 NB(μ, κ)과 수요의 평균과 분산(dispersion) 특성이 동일하게 유지된다.

모의실험을 위한 간헐적 수요는 각 수요 모델 별 500개 를 생성한다. 기간은 총 52주이고 이중에서 40주는 내표 본 구간(in-sample periods)으로 초기값 설정, 평활계수의 최적화, 그리고 ${\hat{X}}_{t + 1}$ 과 ${\hat{I}}_{t + 1}$ 의 추정에 사용하였다. 마지막 12주는 평가를 위한 외표본 구간(out-of-sample periods)로 할애하였다. 수요의 특성에 따른 성능을 평가하기 위하여 μ∈{1, 3, 5}을 사용하였고, κ∈{0.05, 0.1, 0.15}을 사용하 였다. κ가 커질수록 영수요 구간의 크기는 감소하여 일반 수요에 근접해진다.

진부화를 위한 간헐적 수요는 다음의 과정으로 생성 하였다. 음이항분포 모형은 주간 간헐적 수요가 52주에 50%로 선형 감소하도록 설정하였고, 채찍효과 모형은 일수요가 52×7일에 50%까지 선형 감소하도록 설정하고 주간 수요는 기존과 동일한 과정을 거쳐서 생성되도록 하였다. 따라서, 음이항 모형은 진부화가 발생하면 수요 의 크기가 감소하고 채찍효과 모형은 영수요 구간의 크 기가 증가한다. <Figure 2>는 이들에 의해 (μ, κ)가 각각 3와 0.15에서 생성된 간헐적 수요를 보여준다.

4.2. 평가척도

평가를 위한 성능 척도로는 Hyndman and Koehler[8]와 Wallstrom and Segerstedt[20]에 명시된 성능 척도 중 일부 를 <Table 1>과 같이 선별하여 적용한다. 우선, 각 기간에 대한 추정오차를 평가하기 위해서 MAD(mean absolute deviation)와 MSE(mean squared error)를 기본적으로 적용 하였다. 간헐적 수요는 영수요가 빈번히 발생하므로 비영 수요 발생시점에서의 누적오차를 평가하기 위하여 MAD_n 을 적용하였다. 수요의 크기에 따른 영향을 배제하기 위해 영수요에도 적용이 가능한 sMAPE(symmetric mean absolute percentage error) 그리고 Hyndman and Koehler[8]가 간헐적 수요에 적용할 수 있는 가장 적합한 척도라고 평 가한 MASE(mean absolute scaled error)를 적용하였다. 편 향을 평가하기 위해서 본 실험에서는 ACFET(absolute cumulative forecasting error at forecasting horizon)을 사용하 였고, 예측오차로 인한 재고 및 부재고 비용 그리고 그 심각도를 평가하기 위해서 ACFE_max(maximum absolute cumulative forecasting error)와 PIST(periods in stock at forecasting horizon)를 적용하였다.

4.3. 초기 예측값과 평활계수 설정

평활형 예측 방법은 초기값에 영향을 받는다. 이를 회 피하기 위하여 모든 초기값은 다음의 식을 일괄적으로 적용하였다.

\begin{matrix} {\hat{D}}_{0} = \frac{\sum_{t = 1}^{S} D_{t}}{m}, {\hat{I}}_{0} = \frac{S}{m}, {\hat{P}}_{0} = \frac{m}{S}, \\ m = \sum_{t = 1}^{s} 1_{{0}^{c}} (D_{t}) \end{matrix}

여기서, S 는 내표본의 크기이고 $1_{{0}^{c}} (x)$ 은 indicator function으로서 만약 x = 0이면 0의 값을 갖고, x ≠ 0이면 1의 값을 갖는다. 따라서, m은 내표본 기간 내의 비영수요의 개수를 의미한다.

평활형 예측 방법의 성능은 평활계수에 의해서도 영향 을 받는 데, 디폴트 값으로 α, β, γ는 0.2, 0.1, 0.03 그리고 θ는 0.9를 각각 설정하였다. 비영수요의 발생확률을 갱신 하기 위한 평활계수인 γ를 작게 설정한 이유는 TSB 논문 [19]에서 γ의 최적값이 작은 값에서 발생한다고 언급하였 기 때문이다.

모의실험은 R version 3.1.2를 이용하여 8GB RAM을 장착한 Intel® Core™2 Duo E7500 2.93GHz CPU에서 수 행되었다.

5. 평가결과

5.1. 최우수 성능 비중

<Figure 3>은 채찍효과 모형 간헐적 수요에 대하여 μ = 3, κ = 0.1에서의 8가지 성능 척도 별 6가지 예측 방법의 성능에 대한 실험결과를 나타내고 있다. x축은 예측에 대 한 시평을 나타내고 있으며, y축은 1,000회 실험에서 가장 우수한 성과를 보인 빈도수의 백분율을 나타내고 있다. 그 림에서 BWES 방법이 전 구간에 걸쳐 sMAPE를 제외하고 전 구간에서 다른 예측 방법에 비해 우수하거나 동등한 성 능을 보이고 있음을 확인할 수 있다. sMAPE는 scaled error를 평가하기 위해서 적용 하였는데, 영수요가 많은 경 우 분모가 영(zero)에 근접하여 지표가 왜곡되므로 간헐적 수요의 평가척도로는 적합하지 않은 것으로 판단된다.

예측 시평에 따른 성능변화를 명확히 보기 위하여 <Figure 4>에 레이다 도표를 제시하였다. 결과를 보면 BWES는 앞의 설명과 같이 모든 척도에 대하여 우수한 성능을 보 이고 있으며, 특히, Hyndman and Koehler[8]가 간헐적 수 요에 적용할 수 있는 가장 적합한 척도라고 한 MASE가 상당히 우수함을 알 수 있다. 또한, 편향의 정도를 확인할 수 있는 ACFET와 재고비용관련 지표인 ACFEmax와 PIST 가 우수하여 실제 적용 시에도 상당한 도움이 될 수 있음 을 확인할 수 있다.

5.2. 수요의 특성에 따른 영향

간헐적 수요의 특성, 즉 평균 크기와 분산(dispersion)은 예측 방법의 성능에 영향을 미칠 수 있다. <Figure 5>는 단기시평(h = 4)에서 다양한 수요 특성에 따른 예측 방법 의 최우수 성능 비중을 레이다 도표에 표현한 것이다. 그 림에서 확인할 수 있듯이 단기 수요예측에서는 BWES의 성능이 수요의 크기와 분산에 관계없이 우수한 것을 알 수 있다. 하지만, 수요의 크기와 분산이 커질수록, 즉 연 속적 수요에 근접해 질수록 다른 예측방법과의 성능차이 는 감소한다.

<Figure 6>는 채찍효과 모형이 아닌 음이항 분포 모형 의 간헐적 수요에 대한 평가결과이다. 역시, BWES의 성 능이 전반적으로 우수하지만 채찍효과 모형보다는 차이 가 감소함을 확인할 수 있다. 이는 음이항 분포 모형은 <Figure 3>에서 확인할 수 있듯이 비영수요 크기와 영수 요 구간의 크기의 변동성이 크고, 크기가 1인 비영수요 가 빈번히 발생하기 때문이다. 공급사슬의 특성에 따라 다르겠지만, 이러한 현상은 현실과는 다소 차이가 있다 고 할 수 있다.

5.3. 평활계수 최적화의 영향

지금까지의 실험은 α, β, γ에 각각 0.2, 0.1, 0.03을 적용 하였다. 평활계수가 예측 방법의 성능에 영향을 분석하기 위하여 내표본 기간의 수요를 이용하여 최적화된 파라미 터를 적용하여 평가를 실시하였다. 이때, (α, β, γ)의 최적 값은 α, β ∈{0.1, 0.2, 0.3}, γ ∈{0.01, 0.03, 0.05} 중 내표 본 기간 동안 한 기간 선행 예측의 MAD를 최소로 하는 값을 사용하였다. 평가결과는 <Figure 5> 그리고 <Figure 6>과 거의 유사하다. 결론적으로, α, β, γ의 영향이 일부 존재하기는 하지만 정해진 범위 내에서는 성능에서 주목 할 만한 차이를 보이지 않았으며, 이는 기존의 연구결과 와 일치한다[9, 13, 20].

5.4. 진부화의 영향

본 논문에서는 BWES와 함께 진부화를 대응할 수 있 는 BWESO를 같이 제안하였다. <Figure 7>은 50%의 진 부화율이 발생할 때의 성능평가 결과를 레이다 도표로 정리한 것이다. BWESO가 단기예측에서는 다소 우수한 성과를 보이고 있으나, 예측시평이 길어질수록 예측 방 법들 사이의 성능이 혼재되어 나타나는 양상을 보이고 있다. 주목할 만한 점은 진부화를 목표로 설계된 TSB의 성능이 타 예측방법보다 우수한 성과를 보이지 못하고 있으며, 이를 기반으로 설계된 BWESO 또한 동일한 양 상을 보이고 있다는 점이다. 이는 진부화를 반영하기 위 해서는 새로운 방법의 시도가 필요함을 시사한다.

6. 결 론

본 논문에서는 간헐적 수요의 단기 예측의 정확도를 향상시키는 새로운 방법 BWES와 BWESO를 제안하였 고 다양한 성능 척도와 다양한 수요의 특성에서 타 방법 에 비해 우수한 성능을 보이고 있음을 확인하였다.

간헐적 수요의 패턴은 주로 A/S 부품이나 예비부품에 서 발생한다. 모제품의 판매시점이 광범위한 기간에 퍼 져 있고 부품의 고장의 발생이 지수분포를 따른다면, 부 품의 수요는 저수요 특성을 갖는다. 여기에 수요자의 주 문정책과 주문주기에 따른 공급사슬의 채찍효과가 가해 지면 간헐적 수요 패턴이 발생한다는 것이 우리의 간헐 적 수요의 발생 메커니즘에 대한 이해이다. 기존의 간헐 적 수요의 통계적 모형은 비영수요의 크기와 영수요 구 간의 크기가 독립적이라는 가정하에 음이항 분포를 적용 하고 있으나, 실증 자료를 통하여 이들 간에는 독립성이 존재하지 않음이 확인되었으며, 비현실적인 수요 패턴을 발생시킨다. 이를 보완하기 위해 우리는 새로운 간헐적 수요를 생성하여 제안한 예측방법을 평가하였다. 하지만, 채찍효과 모형 또한 실증적으로 검증되지 않은 모형이므 로 한계점이 존재한다. 이 부분과 진부화의 영향을 반영 할 수 있는 예측방법은 향 후 연구를 통하여 보완되어야 할 것이다.

Figure

<Figure 1>.

wt+τ According to θ

<Figure 2>.

Examples of Intermittent Demands

<Figure 3>.

The 1^st Rank Ratio of Forecasting Methods Under Various Measures, when μ = 3 and κ = 0.1

<Figure 4>.

The Radar Chart of 1^st Rank Ratio of Forecasting Methods at Various Forecasting Horizons for Intermittent Demands by the Bullwhip Effect Model

<Figure 5>.

The Radar Chart of 1^st Rank Ratio of Forecasting Methods at h = 4 for Intermittent Demands by the Bullwhip Effect Model

<Figure 6>.

The Radar Chart of 1^st Rank Ratio of Forecasting Methods at h = 4 for Intermittent Demands by the Negative Binomial Model

<Figure 7>.

The Radar Chart of 1^st Rank Ratio of Forecasting Methods for Obsolescence at Various Forecasting Horizons

Table

<Table 1>.

Performance Measures for Demand Forecasting

measure	formula
MAD	1T∑t=1T\|Dt−D^t\|
MSE	1T∑t=1T(Dt−D^t)2
MADn	1T∑t=1T\|Dn−∑t=p−0+1pD^t\|
sMAPE	1T∑t=1T\|Dt−D^t\|Dt+D^t/2⋅100
MASE	1T∑t=1T\|Dt−D^t1n−1∑i=2n\|Dt−Di=1\|\|
ACFET	\|∑t=1T(Dt−D^t)\|
ACFEmax	t∈{1, 2,2max,...,T}(\|∑i=1tDt−D^i\|)
PIST	∑t=1T(∑i=1t(Dt−D^t))

Reference

N. Altay , F. Rudisill , L.A. Litteral (2008) Adapting Wright’s modification of Holt’s method to forecasting intermittent demand., Int. J. Prod. Econ., Vol.111 (2) ; pp.389-408
J-K. Baek , J-H. Han (2011) Forecasting of Heat Demand in Winter Using Linear Regresson Models for Korea District Heating Corporation., Journal of the Korea Academia-Industrial Cooperation Society, Vol.12 (3) ; pp.1488-1494
Y. Bao , W. Wang , J. Zhang (2004) Forecasting intermittent demand by SVMs regression, 2004 IEEE International Conference, ; pp.461-466
J.L. Carmo , A.J. Rodrigues (2004) Adaptive forecasting of irregular demand processes., Eng. Appl. Artif. Intell., Vol.17 (2) ; pp.137-143
J.D. Croston (1972) Forecasting and stock control for intermittent demands., J. Oper. Res. Soc., Vol.23 (3) ; pp.289-303
R.S. Gutierrez , A.O. Solis , S. Mukhopadhyay (2008) Lumpy demand forecasting using neural networks., Int. J. Prod. Econ., Vol.111 (2) ; pp.409-420
Z. Hua , B. Zhang (2006) A hybrid support vector machines and logistic regression approach for forecasting intermittent demand of spare parts., Appl. Math. Comput., Vol.181 (2) ; pp.1035-1048
R.J. Hyndman , A.B. Koehler (2006) Another look at measures of forecast accuracy., Int. J. Forecast., Vol.22 (4) ; pp.679-688
N. Kourentzes (2014) On intermittent demand model optimization and selection., Int. J. Prod. Econ., Vol.156 ; pp.180-190
J.F. Lawless (1987) Negative binomial and mixed Poisson regression., Can. J. Stat., Vol.15 (3) ; pp.209-225
S. Lee , C. Ha (2015) Long-Term Demand Forecasting Using Agent-Based Model Application on Automotive Spare Parts., Journal of Society of Korea Industrial and Systems Engineering, Vol.38 (1) ; pp.110-117
E. Leven , A. Segerstedt (2004) Inventory control with a modified Croston procedure and Erlang distribution., Int. J. Prod. Econ., Vol.90 (3) ; pp.361-367
S.D. Prestwich , S.A. Tarim , R. Rossi , B. Hnich (2014) Forecasting intermittent demand by hyperbolic-exponential smoothing., Int. J. Forecast., Vol.30 (4) ; pp.928-933
R.D. Snyder , J.K. Ord , A. Beaumont (2012) Forecasting the intermittent demand for slow-moving inventories : A modelling approach., Int. J. Forecast., Vol.28 (2) ; pp.485-496
A.A. Syntetos , J.E. Boylan (2001) On the bias of intermittent demand estimates., Int. J. Prod. Econ., Vol.71 (1-3) ; pp.457-466
A.A. Syntetos , Z. Babai , J.E. Boylan , S. Kolassa , K. Nikolopoulos (2016) Supply chain forecasting : Theory, practice, their gap and the future., Eur. J. Oper. Res., Vol.252 (1) ; pp.1-26
A.A. Syntetos (2001) Forecasting of intermittent demand., Brunel University,
R.H. Teunter , B. Sani (2009) On the bias of Croston ?(tm)s forecasting method., Eur. J. Oper. Res., Vol.194 (1) ; pp.177-183
R.H. Teunter , A.A. Syntetos , M.Z. Babai (2011) Intermittent demand: Linking forecasting to inventory obsolescence., Eur. J. Oper. Res., Vol.214 (3) ; pp.606-615
P. Wallström , A. Segerstedt (2010) Evaluation of forecasting error measurements and techniques for intermittent demand., Int. J. Prod. Econ., Vol.128 (2) ; pp.625-636