0021-01-0036-0004-5.pdf561.2KB

• 1. 서 론
• 2. 문제 정의
• 3. 기존의 해법과 제안하는 해법
• 3.1 Wang and Hu의 해법
• 3.2 제안하는 해법
• 4. 예 제
• 5. 결 론
• Acknowledgement

1. 서 론

대량생산을 통한 물질의 풍요 속에서 고객들은 자신의 기호에 맞는 다양한 제품들을 짧은 리드타임 내에 요구하고 있다. 기업들은 이러한 고객의 취향에 맞추기 위해 모듈화(modularization)와 차별화 지연(postponement)전략을 활용하고 있다. 컴퓨터 산업을 예로 들면, 메모리카드와 프로세서 등의 꼭 필요한 부품으로 구성된 반제품(semi-finished product)을 미리 확보해 두었다가 고객의 주문에 맞춰 선택 부품들(optional components)을 반제품에 추가하여 제품을 출시하는 전략을 쓰고 있다[5]. 

예를 들어 1개의 반제품에 4개의 선택 부품들을 적절하게 선택하여 조립하여 완제품 A, B, C를 제조하는 경우가 <Figure 1>에 주어져 있다. <Figure 1>은 반제품에 선택부품 1과 선택부품 2를 조립하는 경우에는 완제품 A가 제조되고, 반제품에 선택부품 2와 선택부품 3을 조립하는 경우에는 완제품 B가 제조되며, 반제품에 선택부품 4를 조립하면 완제품 C가 제조되는 예를 나타내고 있다.

<Figure 1> An Assembly Line Example of 4 Optional Components, 1 Semi-finished Product, and 3 Types of Finished Products

본 논문에서는 반제품의 재주문점이 주어져 있을 경우 반제품의 주문량과 선택 부품들의 주문량과 재주문점을 구하는 문제에 대한 해법을 제시하고자 한다. 조립공장은 연속적 재고관리 정책(continuous review inventory policy)을 사용하고 있다고 가정한다. 연속적 재고 관리정책이란 관심 부품의 재고수준이 실시간으로 알려진다고 할 때, 재고수준이 재주문점(r) 이하가 되면 적정한 주문량(Q)으로 부품을 주문하는 것이다. 

또한, 본 연구에서는 예산 제약(budget constraint)을 고려하였는데, 이 제약은 부품들에 대한 재고투자액이 미리 정해진 예산 이내가 되도록 하는 것이다. 예산 제약은 많은 재고 문제에서 다루어졌다. 우선 다품종이 있는 신문배달소년 문제에 예산의 제약을 고려한 연구들을 살펴보면, Vairaktarakis[9]은 수요가 최소 혹은 최대만 있는 경우와 이산확률인 경우를 고려하고 동적계획법을 이용한 해법을 제시하였다. Abdel-Malek and Areeratchakul[1]은 수요가 일양분포, 지수분포, 정규분포, 일반적인 분포 등을 따를 때 기대부족수요(expected shortage cost)를 2차 함수로 추정하는 방법을 제시하고 2차 계획법을 이용한 접근법을 제안하였다. Chen and Chen[2]은 예산 제약이 있는 경우의 문제에 예약을 하면 가격 할인을 해줄 때 최적 주문량을 결정하는 MCR이라는 해법을 제시하였다. Zhang[10]은 공급자가 주문량에 따라 다양한 가격할인을 해주는 경우에 라그랑주 해법에 기반한 휴리스틱을 제안하였다. 이상의 연구들에서 고려한 예산 제약은 제품주문비용이 정해진 예산을 초과하지 않는다는 단순한 제약조건이다.

연속적 재고관리 문제에서 주문량과 재주문점을 구하기 위해 사용하는 기존의 방법은 Hadley-Whitin[4]이 제안한 방법으로 주문량과 재주문점을 포함하는 2개의 방정식을 주문량과 재주문점 값이 수렴할 때까지 반복적으로 푸는 방법이다. Ghalebsaz-Jeddi et al.[3]은 다품종이 있는 연속적 재고관리 문제에 예산 제약이 있는 경우에 대해 기대부족수요와 누적정규분포를 회귀분석으로 추정하고 이를 이용하여 Hadley-Whitin 방법을 사용하지 않고 직접적으로 주문량과 재주문점을 구하는 휴리스틱을 제안하였다. 그러나 Ghalebsaz-Jeddi et al. 방법은 손실함수와 누적정규분포를 여러 구간으로 나누어 추정하므로 어느 구간에 값들이 존재하는지 알기 위해 수치적으로 계산된 표가 필요하다는 단점이 있다. Lee et al.[6]는 Ghalebsaz-Jeddi et al.[3] 등이 고려한 문제에서 기대부족 수요를 누적정규분포를 이용하여 추정한 직접적인 해법을 제시하였다. 특히, 이들의 해법은 추정을 위해 구간을 나누지 않았기에 좀 더 효율적인 해법이라 할 수 있다. 이상의 연구들이 고려한 예산 제약은 부품구입비용을 제품을 수령할 때 지불한다고 가정할 때, 재고투자액이 예산 이내로 될 확률이 특정 값 이상이 되도록 하는 것으로 비교적 복잡한 제약조건이 포함된 문제이다. 

Wang and Hu[7]는 예산 제약이 있는 경우, 반제품과 선택부품들을 가진 연속적 재고모형 문제를 제안하고 Newton-Raphson 방법을 이용한 해법을 제시하였다. 특히, 이들은 서비스 수준(service level)이 높아질수록 노동력, 시설, 이외의 관련 서비스들과 관련된 비용들이 같이 상승한다는 사실에 주목하고, 서비스 비용과 제품주문비용을 예산제약으로 고려하였다. 이때 서비스 비용은 서비스 수준에 비례한다고 가정하였다. 또한, Wang and Hu[8]는 부품구입비용을 제품을 수령할 때 지불한다고 가정할 때, 재고투자액과 서비스 비용이 예산 이내로 될 확률이 특정 값 이상이 되도록 하는 좀 더 어려운 예산 제약이 있는 경우의 문제에 대해서 Hadley-Whitin 방법을 적용한 해법을 제시하였다. 

본 논문에서는 Wang and Hu[8]가 제시한 문제인 예산의 제약이 있는 연속적 재고 모형에서 반제품의 재주문점이 주어져 있다고 할 때 반제품의 주문량과 선택부품의 주문량과 재주문점을 결정하는 효율적인 해법을 제시하고자 한다. 

본 논문의 구성은 다음과 같다. 제 2장에서는 사용되는 기호를 설명하고 수학모형을 제시하였다. 제 3장에서는 Wang and Hu[8]가 제시한 기존의 해법을 살펴보고 본 논문에서 제시한 해법을 소개하였다. 제 4장에서는 예제를 통해 제안한 방법론의 효율성을 살펴보고, 민감도 분석을 통해 반제품의 재주문점 변화에 따른 반제품의 주문량, 선택부품의 주문량과 재주문점의 변화를 살펴보았다. 마지막으로 제 5장에서는 본 논문의 결론을 제시하였다.

2. 문제 정의

본 논문에서 사용되는 기호들은 다음과 같다. 아래 첨자로 반제품은 υ, 선택 부품은 oj가 사용되나, 편의를 위해 여기서는 생략되었다. 

A : 고정 발주비
H : 제품 단위당 재고 유지비
P : 단위당 벌과 비용
κ : 서비스 비용 비율
D : 연간 기대 수요
C : 제품 단위당 가격 

이외의 기호들은 다음과 같다. 

W : 최대 허용 예산
Z : 표준정규분포의 확률변수, N(0, 1)  
γ : 재고 투자액이 예산범위 이내로 되는 최소 허용확률
X : 리드타임 동안의 반제품의 수요에 대한 확률변수, 

Y_j : 리드타임 동안의 반제품 j의 수요에 대한 확률변수, 

L_υ(r_υ) : 반제품의 재주문점이 r_υ일 때 주기 말의 기대부족 수요, 

L_oj(r_oj│r_υ) : 선택 부품의 재주문점이 r_oj일 때 주기 말의 기대부족 수요, 

f(x, y_j) : X와 Y_j의 결합확률분포(joint probability distribution function)로 이변량 정규 분포(bivariate normal distribution) 

여기서  
                (X와 Y_j에 대한 상관계수)

본 연구에서 고려하는 문제의 수학 모형(F1)은 다음과 같다. 

F1 : Min OBJ(Q_u, Q_oj, r_oj)

subject to 

식 (1)은 목적함수로 반제품과 선택부품의 발주 비용, 재고유지비용, 재고부족비용을 최소화하는 것이다. 식 (2)는 재고투자비용과 서비스 비용의 합이 예산(W)이내로 될 확률이 γ 이상이 되도록 하는 예산 제약이다. 여기서 부품구입비용은 제품을 수령할 때 지불한다고 가정한다. 또한, 서비스 비용은 서비스 수준과 비례한다고 가정하고 SC = κF(r)로 구할 수 있다고 하였다. 마지막으로 식 (3)은 의사결정변수인 Q_υ, Q_oj r_oj가 비음(non-negative)이라는 것이다. 

식 (2)는 다음과 같이 쓸 수 있다. 

여기서 Y = C_υX+Σ_jC_ojY_j라고 두면 Y ∼ N(μ_Y, )이며 μ_Y = C_υμ_υ + Σ_jC_ojμ_oj, = μ_oj =μ_j + , 이다.

3. 기존의 해법과 제안하는 해법

z_υ = a로 주어진다고 가정하므로 r_υ = μ_υ + σ_υz_υ를 이용하여 반제품의 재주문점 r_υ를 구할 수 있다. 그러므로, 수학모형 F1을 풀기 위해 라그랑주 함수(Lagrange function)를 살펴보면 다음과 같다. 

라그랑주 함수 J(Q_υ, Q_oj, r_oj, λ)를 Q_υ, Q_oj, r_oj, λ에 대해 편미분하고 이를 0으로 두면 라그랑주 함수를 최소화하는 문제의 제1계 필요조건(first order necessary condition)을 구할 수 있다. 이는 다음과 같다. 

 반제품의 주문량을 구하기 위하여 식 (7)을 정리하면

로 주어진다. 따라서 z_υ = α임으로 이를 이용하여 r_υ를 계산한 후 L(r_υ)를 구할 수 있으며 이를 식 (9)에 대입하면 Q_υ를 구할 수 있다. 

3.1 Wang and Hu의 해법

선택부품의 재주문점과 주문량을 구하기 위해 식 (5)와 식 (6)을 정리하면 

이 된다. 따라서 선택부품의 재주문점과 주문량은 식 (8), 식 (10), 식 (11)을 동시에 만족하는 Q_oj, r_oj, λ를 구하면 된다. 

임의의 λ에 대해 식 (10)은 L(r_oj)에 영향을 받으며, 식 (11)은 Q_oj, r_oj에 영향을 받으므로 식 (10)과 식 (11)을 동시에 만족하는 Q_oj, r_oj를 구하는 해법은 복잡하다. 그러므로 식 (8)을 λ에 대한 함수로 가정하고, 

g(λ) = C_υ(Q_υ + r_υ) + Σ_jC_oj(Q_oj + r_oj) + κ_υF_X(r_υ) + κ_ojF_Yj│X(r_oj│r_υ)－W－μ－z_1－γσ_Y = 0

라 두자. 

기존의 해법(Wang and Hu)는 임의의 λ에 대해 식 (10)과 식 (11)을 동시에 만족하는 Q_oj, r_oj를 두 개의 값이 수렴할 때까지 반복적으로 풀고, 식 (8)을 만족하는 λ를 구할 때까지 λ를 변경하면서 이를 반복하는 것이다. 

Wang and Hu가 제시한 해법은 다음과 같다. 

Step 1 : g(λ₁)＞0, g(λ₂)＜0 인 λ₁, λ₂를 구한다. 

Step 2 : 각  λ₁, λ₂에 대해 

  a) L(r_oj│r_υ) = 0으로 두고 식 (10)으로부터 Q_oj를 구한다. 

  b) Q_oj를 F(r_o) =에 대입하여 r_oj의 초기해 r₀를 구한다. Q_oj와 r₀를 식 (11)에 대입하고 r_oj의 값이 수렴할 때까지 식 (11)을 반복해서 푼다. 

  c) b)에서 구한 r_oj를 이용하여 L(r_oj)를 구하고 이를 식 (10)에 대입하여 Q_oj를 구한다. Q_oj의 변화가 작으면 멈추고, 아니면 b)로 돌아간다. 

Step 3 : λ_new = 로 두고 Step 2를 이용하여 Q_oj, r_oj를 구한다. 만약 g(λ_new)＞0이면, λ₁ = λ_new; 아니면,  λ₂ = λ_new로 둔다.

Step 4 : If (g(λ₁), －g(λ₂))＜ ε이면 멈추고, 아니면 step 3으로 돌아간다. 여기서 ε은 미리 정의된 임의의 작은 값이다. 

3.2 제안하는 해법

본 논문에서 제시한 해법은 다음과 같다. 위의 식 (5)를 Q_oj에 대하여 정리하면 

로 표현할 수 있으며, 또한 식 (6)을 역시 에 대하여 정리하면 

이 된다. 

위의 두 식 (12)와 식 (13)에서 Q_oj를 소거하면 아래 식 (14)과 같이 r_oj에 대한 방정식으로 표현된다. 

여기서
 
이다.

제 3.1절에서 언급하였듯이 Wang and Hu가 제시한 기존의 해법은 식 (11)의 왼쪽과 오른쪽 항의 값이 일치할 때까지 r_oj값을 반복하여 구하고, Q_oj와 r_oj값이 식 (10)과 식(11)을 만족할 때까지 반복하는 복잡한 해법이다. 그러나, 식 (14)는 Q_oj가 소거되었으므로 오직 변수 r_oj에 대한 함수임으로 기존의 해법처럼 반복하여 풀 필요 없이 수치해석적(예를 들어, 이분법(bisection search))으로 쉽게 풀 수 있다. 이러한 이론적 근거 하에 제시하는 해법은 다음과 같다. 

Step 1 : g(λ₁)＞0, g(λ₂)＜0 인 λ₁, λ₂를 구한다. 

Step 2 : 각 λ₁, λ₂에 대해 식 (14)를 이분법을 이용하여 r_oj를 구한다. r_oj를 식 (10)에 대입하여 Q_oj를 구한다. 

Step 3 : λ_new = 로 두고 Step 2를 이용하여 Q_oj, r_oj를 구한다. 만약 g(λ_new)＞0이면, λ₁ = λ_new; 아니면,  λ₂ = λ_new로 둔다. 

Step 4 : If  (g(λ₁), －g(λ₂))＜ ε이면 멈추고, 아니면 step 3으로 돌아간다. 여기서 ε은 미리 정의된 임의의 작은 값이다. 

4. 예 제

본 논문에서 제안한 해법의 이해를 돕기 위해 다음과 같은 예제를 통해 Wang and Hu[8]가 다루었던 문제를 이용하고자 한다. 1개의 반제품과 2개의 선택 부품이 있다고 가정하였을 때 자료들은 <Table 1>에 주어져 있다. 

<Table 1> Data for Numerical Example

<Table 2>에는 α= 0.7, 0.8, 0.9일 때, 본 논문에서 제안한 해법에 따른 결과가 주어져 있다. 즉, 의사결정변수들인 Q_υ, Q_oj, r_oj의 값들과, z_υ = α로 주어졌으므로  r_υ = μ_υ +  σ_υz_υ를 이용하여 구한  r_υ의 값과 목적함수 값인 EAV(Q, r)이 주어져 있다. 

<Table 2> Sensitivity Analysis from α = 0.7 to 0.9 by the Proposed Approach

<Table 2>를 통해 볼 때, α 즉,  r_υ가 증가함에 따라,  q_υ는 감소하며,  Q_oj와  r_oj는 증가하는 것으로 보인다. 이를 좀 더 자세히 살펴보기 위해 

  ∙ r_υ값에 따른 Q_oj의 변화
  ∙ r_υ값에 따른 r_oj의 변화
  ∙ r_υ값에 따른 Q_υ의 변화 

를 분석해 보았다. 

먼저 r_υ값의 따른 Q_oj의 변화를 살펴보기 위하여 식 (12)를 아래와 같이 간단히 표현하여 r_υ에 대하여 미분한다. 즉, 

에서 로  표현할 수 있다. 여기서

 , , 이다.

이를 이용하여 Q_oj를 r_υ에 대하여 미분하면 

로 주어진다. 

<Figure 2>를 통해 볼 때, 이고, <Table 1>에서 a ＞b ≫ L(r_oj│r_υ) 이므로, 식 (15)에서  ＞0이 됨을 알 수 있다. 따라서 r_υ가 증가함에 따라 <Figure 3>을 통해 볼 수 있듯이 Q_oj는 증가한다. 

<Figure 2> Plots of λ, L(r_o1│r_υ), L(r_o2│r_υ)and Versus r_υ

<Figure 3> Plots of Q_o1 and Q_o2 Versus r_υ

<Figure 4>는 r_υ값에 따른 r_oj의 변화를 살펴본 것으로 r_υ가 증가함에 따라 r_oj는 거의 선형적으로 증가함을 알 수 있다. 

<Figure 4> Plots of r_o1 and r_o2 Versus r_υ

r_υ값에 따른 Q_υ의 변화를 살펴보기 위하여 식 (9) Q_υ = 을 고려하자. 위의 Q_oj경우와 유사하게 

로 주어지며 여기서 , , 이다.

<Figure 5>를 통해 볼 때, 이므로 <Table 1>에서 주어진 값을 사용하면, 식 (16)에서 ＜ 0임을 알 수 있다. 따라서 <Figure 6>과 같이 r_υ값이 증가함에 따라 Q_υ는 거의 선형적으로 감소한다. 

<Figure 5> Plots of λ and L(r_υ) Versus r_υ

<Figure 6> Plots of Q_υ Versus r_υ

이상의 분석을 통해서, r_υ가 증가함에 따라, Q_υ는 감소함을 알 수 있다. 이는 반제품의 재주문점(r_υ)가 증가하면 이미 많은 안전재고량을 확보하므로 반제품의 주문량(Q_υ)을 줄여 재고유지비를 감소시키려는 것으로 보인다. 또한, r_υ가 증가함에 따라, Q_oj와 r_oj는 증가한다. 이는 반제품의 재주문점(r_υ)이 증가하여 반제품의 재고량이 높아지면, 선택부품의 재고량도 함께 높이려는 것으로 보인다. 이것은 반제품이 있으나 선택부품의 품절로 인하여 완제품을 제조하지 못 하는 경우를 예방하기 위해서인 것으로 판단된다.

5. 결 론

본 연구에서는 짧은 리드타임과 고객화를 동시에달성하기 위해 모듈화와 차별화 지연 전략을 쓴다고 할 때, 필수부품들을 미리 조립해 둔 반제품에 고객의 주문에 맞는 선택부품들을 조립하여 완제품을 출시하는 상황을 고려하였다. 또한, 반제품과 선택부품들은 연속적 재고관리 정책을 쓰며 재고 비용에 쓸 수 있는 예산이 제한적이라고 가정하였다. 이때 반제품의 재주문점이 주어져 있다면, 반제품의 주문량과 선택부품의 주문량과 재주문점을 결정하는 문제에서 총비용을 최소화하는 최적해를 찾는 효율적인 해법을 제시하였다. 

기존의 해법에서는 복잡한 수식을 반복적으로 풀고 이를 다른 수식에 대입하여 다시 반복하는 방법을 쓰고 있다. 본 연구에서는 반복이 필요 없이 풀 수 있도록 식을 간소화하고 이를 이분법을 이용하여 해를 구하는 간단한 해법이므로 사용하기 편리하다고 할 수 있다. 

또한, 민감도 분석을 통해 반제품의 재주문점의 증가에 따른 반제품의 주문량, 선택부품의 주문량과 재주문점이 어떤 영향을 받는지 분석해 보았다. 반제품의 재주문점이 증가하면, 반제품의 주문량은 감소하였고, 선택부품의 주문량과 재주문점은 증가하였다.

Acknowledgement

This research was supported by Basic Science Research Program through the National Research Foundation of Korea(NRF) funded by the Ministry of Education, Science and Technology(NRF-2010-0022163).