1. 서 론

본 연구에서는 고객 수요의 평균과 분산을 추정값으로 알고 있는 제한된 상황에서 복수 개의 재고한계점, 특히 이중 재고한계점에 반응하는 고객이탈행위를 고려한 뉴스벤더 모델을 분석한다. 여기서 ‘고객이탈행위’란 고객의 구매심리가 재고의 감소에 의해 영향을 받아 일정 확률로 제품의 구매 없이 시스템을 이탈하는 현상을 일컫는다. 

뉴스벤더 모델은 패션제품, 농․수산물, 일․주간지등 비교적 짧은 수명주기를 지닌 제품들의 기대수익을 최대화하는 주문 정책을 수립하는 단일기간 재고 모델이다[2]. 이러한 모델에서 최적의 주문량은 예상수요보다 제품을 너무 많이 주문했을 때 발생하는 잔여재고의 처리비용과 반대로 제품을 너무 적게 주문함으로인해 발생하는 기회비용 사이에 균형을 이루는 주문량이 된다. 이 전통적인 재고모델은 실제 다양한 재고관리 상황 하에서 수많은 실용적인 경영사례들의 도출을 통해 꾸준히 연구되고 있다[4]. Khouja [4]는 기본적인 뉴스벤더 모델을 확장한 문제들을 11개의 범주로 나누어 정리하였다. 최근의 확장 연구들은 산출물의 양이 불확실한 경우[5], 추가적인 주문 기회가 주어지는 경우, 관련된 고정비와 자원의 제약이 존재하는 경우 등의 다양한 상황들을 다루고 있다. 이러한 연구들의 대부분은 수요의 확률분포가 주어진 상황 하에서 문제를 분석하였다. 

하지만 적절한 정보가 부족한 실제 상황에서 판매기간 동안에 발생하는 고객 수요의 정확한 확률분포를 찾아내기란 쉽지 않은 일이다. 이러한 문제를 다루기 위해 몇몇 학자들은 정확한 수요의 확률분포 없이도 수요의 평균과 분산만으로 최적의 주문량을 결정하는 “분포에 무관한 뉴스벤더 모델(distribution-free newsvendor model; 이하 DFNM)”을 연구해 왔다. DFNM에서는 총수익을 최대화 하는데 있어 최악의 상황을 가정하고 이러한 가정 하에서 기대수익을 최대화하는 전략(maximin approach)을 사용한다. DFNM의 선구자라 할 수 있는 Scarf[8]는 확률분포의 제약이 없는 상황에서의 제품 주문량을 결정하는 폐쇄형 해를 유도하였다. Gallego and Moon[3]은 Scarf[9]의 공식을 간단히 증명하고 다양한 사례들로 적용, 발전시켰다. 이 후 Moon과 Silver[8]는 원재료에서부터 완제품단계에 이르는 뉴스벤더 모델을 포괄적인 관점에서 분석하였다. Vairaktarakis[10]는 예산 제약과 두 가지 불확실성이 존재하는 상황 하에서 다수의 제품을 다루는 뉴스벤더 모델을 미니맥스 후회(minimax regret) 접근법으로 분석하였다. 이와 유사한 연구로, Moon and Choi[7]는 예산 제약과 고정 주문비용이 존재하는 상황에서 다수의 제품들을 다루는 DFNM에 대한 발견적 기법을 개발하였다. Alfares and Elmorra[1]는 Gallego and Moon[3]의 결과를 확장하여 재고부족 벌과금이 있는 경우의 DFNM을 다루었다. 

한편, 고객의 이탈행위(balking)를 고려한 뉴스벤더 모델에 관한 연구들도 동시에 진행되었다. Moon and Choi[7]는 가용 재고수준이 임계값 이하로 떨어질 때 고객이 이탈현상을 보이는 뉴스벤더 모델을 분포에 무관한 접근방법으로 분석하였다. Liao et al.[6]은 Moon and Choi[7]의 모델을 부족한 재고에 대해 벌과금이 있는 경우로 확장시켜 분석하였다. 이들은 모두 단일 재고수준에 반응하는 고객이탈현상을 다루었다. 

본 연구에서는 기존의 고객이탈현상을 다룬 뉴스벤더모델 연구와는 달리 고객이탈행위가 단일 재고한계점이 아닌 복수 재고한계점에 반응하여 일어난다고 가정한다. 재고의 수량이 점점 줄어들수록 고객의 제품 구매확률이 이에 따라 계속해서 감소한다는 것으로 보다 현실적이고 일반적인 가정이다. 이러한 확장된 개념의 초기 연구로서 두 개의 재고한계점을 가진 모델을 분석한다. 본 연구의 핵심 내용은 Moon and Choi[7]의 연구결과에 기반하고 있다. 본 연구는 Moon and Choi[7]의 연구결과를 매우 일반적인 상황으로 발전시키기 위한 기반 연구라 할 수 있으며 그 자체로도 충분히 의의를 가진다. 

이후의 구성은 다음과 같다 : 제 2장에서는 본 논문에서 제시한 두 개의 재고한계점을 반영하는 뉴스벤더 모델에 대하여 수요의 정확한 확률분포가 주어진 상황과 그렇지 않은 상황으로 나누어 설명한다. 제 3장에서는 본연구의 결과의 타당성을 수치실험의 결과를 통해 살펴본다. 끝으로 제 4장에서는 본 연구의 결과를 요약하고 향후 연구주제들을 소개한다. 

2. 제안모델 : 이중 재고한계점에 반응하는 고객 이탈행위를 고려한 뉴스벤더 모델

본 연구의 분석에서 사용할 기호들은 아래와 같다 :
c : 제품 개당 구입 비용
p : 제품 개당 판매가격
v : 판매기간 이후의 제품 개당 잔존가치
D : 제품의 수요(확률변수)
F : 제품 수요의 누적확률 분포함수(CDF)
f : 제품 수요의 확률밀도함수(pdf)
μ : 판매기간 동안의 제품 수요의 평균
σ : 판매기간 동안의 제품 수요의 표준편차
K_i : 고객이탈행위가 일어나 개당 구매확률이 L_i가 되는 재고 한계점 (i = 1,2), (0 < K₂ < K₁) 
L_i : 재고 한계점 K_i에 상응하는 제품 개당 구매확률, (i = 1, 2) (0 < L₂ < L₁ < 1) 
Q : 제품 주문량(Q > K₁)
χ⁺ = max{χ, 0} : 0과 χ 중 최대값

2.1 수요의 확률분포가 주어진 경우

본 장에서는 먼저 수요의 확률분포가 주어진 상황하에서 최적의 주문량을 찾는 공식을 유도한다. 본 절의 결과는 추후 분포에 무관한 접근방법을 사용한 분석결과와의 비교대상이 된다. 

재고수준이 감소할 때 고객의 제품 구매확률이 두 개의 임계값에 따라 차례로 감소하여 기대수익에 영향을 미치는 뉴스벤더 모델을 가정하자. 이는 Moon and Choi[7]의 확장된 모델로서 고객이탈과 관련하여 두 개의 벡터모수 (K₁,L₁)과 (K₂,L₂)를 가진다. 여기서 0 < K₂ <  K₁ <  Q이고 0 < L₂ < L₁ < 1임을 염두에 두기 바란다. 이 모델의 기대이익함수 는 수요의 범위에 조건을 취하여 구하면 식 (1)과 같다. 에서 윗첨자는 수요의 누적 확률분포 F가 주어졌음을, 아래첨자 2는 재고한계점이 두 개임을 의미한다. 

 여기서

식 (1)에서 우변의 첫째항 R_o(Q)는 판매기간 동안의 수요가 0과 Q ― K₁사이인 경우의 기대수익을 의미한다. 이 경우에는 재고수준이 첫 번째 재고한계점인 K₁아래로 떨어지지 않았으므로 고객이탈행위가 발생하지 않는다. 둘째 항 R₁(Q)는 수요가 Q ― K₁와 Q ― K₁+(K₁ ― K₂)／L₁ 사이의 값을 가질 때의 기대수익을 나타낸다. 이 경우에는 고객의 개당 구매확률 L₁로 고객이탈행위가 발생한다. 고객들의 이러한 이탈행위는 (1 ― L₁) (D ― (Q ― K₁))의 총 수요에 반영되고 이러한 상황 하에서는 결국 Q ― K₁+ L₁(D ― Q + K₁만큼이 판매되고 Q에서 위 판매량을 뺀 수량만큼 재고가 남는다. 이와 유사하게 셋째 항 R₂(Q)는 수요가 Q ― K₁+(K₁ ― K₂)／L₁와 Q ― K₁+(K₁ ― K₂)／L₁+ K₂／L₂사이에서 발생할 때의 기대수익을 나타내며, 이 경우에는 구매확률 L₂로 고객이탈행위가 발생한다. 고객이탈행위는 (1 ― L₂) (D ― Q+K₁ ― (K₁ ― K₂)／L₁의 총수요에 반영되고 결국 Q ― K₂+L₂(D ― Q+K₁ ― (K₁ ― K₂)／L₁)이 판매, Q에서 판매량을 뺀 나머지 재고는 잔존가치로 처분된다. 넷째 항 R₃(Q)는 수요가 Q ― K₁+(K₁ ― K₂)／L₁) +K₂／L₂를 초과할 때의 기대수익을 나타낸다. 이 경우에도 역시 고객이탈행위는 발생하지만 모든 제품은 제 가격으로 판매된다. 마지막 항의 cQ는 수량 Q의 제품구입으로 인해 발생하는 총비용을 나타낸다. 

이제 앞서 정의한 x⁺ = max { x, 0 }을 사용하여 식 (1)의 각 항들을 간소화하면 다음과 같다. 


그러므로,

위 결과들을 이용하면 식 (1)의 기대이익함수는 다음과 같이 정리된다.
 

Remarks

1. K₁ = K₂ = 0, L₁ = L₂ = 1이면 식 (2)는 전통적인 뉴스벤더 모델의 기대수익함수와 같다. 즉, 

2. K₁ = K₂ = K, L₁ = L₂ = L이면 식 (2)로부터 아래와 같이 Moon and Choi[7] 모델에서의 기대수익함수를 얻을수 있다. 

수요의 확률분포가 주어진 상황에서의 최적주문량을 Q₂^F라고 하자. 식 (2)의  는 강오목(strictly concave)함수이므로 결국 의 일차미분함수를 0으로 만드는 최적의 주문량 Q₂^F는 식 (3)의 해이다. 식 (2)의 강오목성에 대한 증명은 부록에서 다루기로 한다. 

비선형방정식 식 (3)의 해 Q₂^F는 직선탐색법(line search method)을 이용해 구할 수 있다. 

Remarks

1. K₁ = K₂ = 0, L₁ = L₂ = 1이면 식 (3)은 전통적인 뉴스벤더 모델의 최적조건과 같다. 즉,
 

2. K₁ = K₂ = K, L₁ = L₂ = L이면 식 (3)은 아래의 Moon and Choi[7]의 최적조건과 같아진다.
 

2.2 수요의 확률분포가 주어지지 않은 경우

본 절에서는 수요 D의 정확한 확률분포는 모르나 평균(μ)과 표준편차(σ)가 추정치로 주어진 상황 하에서 기대수익을 최대화하는 최적의 주문량 Q₂^W를 유도한다. 수요의 정확한 확률분포가 주어지지 않았으므로 우리는 가능한 최악의 상황 하에서 식 (2)를 최대화하기를 원한다. 식(2)의 를 최대화하는 것은 다음 식을 최소화하는 것과 동일하다. 

그러나, 수요의 확률분포를 모르는 상황에서 식 (4)의 최소값을 구하는 것은 불가능하다. 따라서, 식 (4)의 상한(upper bound)을 최소화하는 방법을 취한다. 독자들은 위 식에서 E[D ― (Q ― K₁)]⁺가 단순히 E[D]⁺ ― E[Q ― K₁]⁺  가 아님을 주의하기 바란다. 

식 (4)의 상한 C₂^W(Q)는 다음의 Gallego and Moon[3]의 결과를 이용하면 식 (6)과 같다. 

여기서 H(D)는 수요 D에 관한 함수를, V[·]와 E[·]는 각각 분산과 평균을 의미한다. 식 (5)는 Cauchy-Schwarz 부등식으로부터 쉽게 증명된다. 

식 (6)은 강볼록(strictly convex)함수이고(<부록> 참조) 일차미분함수는 식 (7)과 같다.
 
식 (7)로부터 ∂C₂^W(Q)/∂Q=0는 다음과 같이 정리된다.

위의 비선형방정식을 만족하는 Q가 수요의 확률분포를 모르는 상황에서의 최적의 주문량 Q₂^W이며, 이 상황에서 최대 기대수익은 식 (2)에 Q₂^W를 대입한 Q₂^W)를 보장한다. 

3. 수치 예제

본 장에서는 제안 모델이 여러 확률분포의 가정 하에서 얼마나 강건한 결과들을 보장하는지 수치예제를 통해 확인한다. 이를 위해 제 2장에서 설명한 관련 모수들을<Table 1>의 범위를 따르는 균일분포로부터 무작위로 추출하여 각 분포 당 2,000번씩 시뮬레이션을 수행하였다. 예를 들어, 제품 개당 판매가격인 p의 값은 80에서 100사이의 임의의 값으로 설정하였음을 나타낸다. 

<Table 1> Parameters and the Range for the Uniformly Generated Data.

또한 본 장에서는 각 수요의 확률분포에 대하여 분포를 정확하게 아는 경우와 그렇지 않은 경우의 최적 주문량을 계산하고, 이를 이용한 기대이익을 각각 )와 )로 표기한 후 비율을 계산하였다. 수요의 확률분포는 정규분포, 감마분포, 삼각분포, 균일분포, 총 네 가지로 실험하였으며 각 분포의 평균과 표준편차는 800과 150이다. 

<Table 2>에는 생성된 2,000개의 문제들마다 구한 비율의 최소값, 평균, 최대값이 담겨 있으며 이 수치들은 모두 1에 매우 근사한 값들임을 알 수 있다. 이는 수요분포에 대한 정보가 부족한 상황 하에서 도출한 최적 주문량 Q^W를 사용하였을 때의 기대이익 )은 주어진 수요분포를 이용해 구한 최적 주문량 Q^F를 사용하였을 때의 기대이익 )과 별 차이가 없다는 것이다. 즉, 두 개의 재고수준임계값에 따라 반응하는 고객이탈행위 하에서도 분포에 무관한 접근방법이 강건한 결과를 얻는 유효한 방법임을 나타낸다. 

<Table 2> Results of for the Different Distribution of Demand.

4. 결 론

본 연구는 수요의 평균과 분산만이 알려진 상황 하에서 두 개의 재고한계점에서 반응하는 고객이탈행위를 고려한 뉴스벤더 모델을 분석하였다. 실제 현장에서 수요의 정확한 확률분포를 미리 아는 경우는 매우 드물고 단지 평균과 분산만이 경험을 통해 추측되는 경우가 대부분이다. 게다가 가용한 재고의 감소는 고객의 구매심리에 영향을 주어 고객이탈현상을 초래하게 되고 결국 고객의 수요가 재고수준의 함수 형태로 나타나게 된다. 이는 기존의 전통적인 뉴스벤더 모델의 최적해가 더 이상 최적이 아님을 의미한다. 

우리는 다수개의 재고한계점을 고려하기에 앞서 먼저 두 개의 재고한계점인 경우를 학습하였다. 두 개의 재고 한계점과 이에 상응하는 고객의 구매확률을 기반으로 수요의 확률분포가 주어지지 않은 상황에서도 강건한 결과를 보장하는 최적 주문량을 결정할 수 있는 모델을 제시 하였다. 마지막으로 수치실험을 통해 본 모델의 타당성을 확인하였다. 

추후 연구로는 다음과 같은 주제들이 계획, 일부 진행중이다. 본 연구에서 다룬 두 개의 재고한계점을 일반화하여 다수개의 재고한계점이 존재하는 경우의 모델로 확장시키고자 한다. 이와 같은 모델에서 재고부족 벌과금이 함께 존재하는 경우를 고려할 수도 있다. 기존의 뉴스벤더모델에서 가정한 수요의 분포를 이산확률분포로 가정하여 분석하는 것도 의미 있을 것이다. 최근 갈수록 증가하는 제품의 다양성과 글로벌한 제품 공급자들의 출현은 고객으로 하여금 제품의 선택권을 보다 다양하게 하여 고객이탈행위를 부추기는 환경을 조성하고 있다. 본 연구는 고객이탈행위가 존재하는 이러한 제품들에 대해 수요와 공급의 균형을 찾는 강건한 분석도구로 활용할 수 있을 것이다. 

<부 록>