1. 서 론

기본적인 일상생활에서 접하게 되는 다양한 형태의 기다림 혹은 대기상태를 수리적인 방법으로 분석하여 유용한 정보를 도출하기 위해 제안된 대기이론은 초기단계에서는 이론적으로 분석 가능한 단순한 형태의 대기모형 개발에 주안점을 두었으며, 산업현장을 비롯하여 많은 영역에 적용되어 많은 복잡하고 어려운 문제를 해결하는데 많은 기여를 하였다. 그러나 이렇게 개발된 단순한 형태의 대기모형은 실제 상황을 정확하게 표현하기 위한 목적보다는 분석가능성에 중점을 두었기 때문에 문명의 발달에 따른 다양한 형태의 사회적인 요구를 수용해야 하는 필연성으로 인해 최근에는 복잡하더라도 보다 현실에 유사한 모형들이 많이 개발되어 활용되어 오고 있다. 이러한 관점에서 보면, 개발된 대기모형들은 크게 두 가지 형태로 분류할 수 있다. 초기단계의 단순화된 모형들을 일반적인 대기모형(ordinary queueing model)이라고 분류하며, 또한 이러한 일반적인 대기모형을 보다 효율적으로 운영하기 위해 새로운 형태의 운용방침을 추가함으로써 모형의 분석에 따르는 어려움은 크게 증가되었지만 효율적인 운용이라는 새로운 목적을 달성할 수 있는 대기모형들을 조정가능한 대기모형(controllable queueing model)으로 분류할 수 있다. 분류된 두 종류 대기모형의 가장 큰 차이점은 서비스를 받기 위해 대기시스템에서 기다리는 고객이 없을 때 서비스를 제공하는 server의 역할과 또한 서비스를 받기 위해 처음으로 대기시스템에 도착하는 고객이 언제 서비스를 받을 수 있는지에 있다고 볼 수 있다. 일반적인 대기모형의 경우에는 처음으로 대기시스템에 도착한 고객이 아무런 조건 없이 도착 즉시 서비스를 받을 수 있다는 가정이다. 이러한 형태의 서비스를 제공하기 위해서는 대기시스템에서 서비스를 기다리는 고객이 없더라도 server는 서비스를 제공하는 창구에서 앞으로 도착할 고객에게 즉시 서비스를 제공할 수 있도록 항상 대기상태를 유지해야만 한다. 다시 말해 서비스를 기다리는 고객의 유무에 관계없이 server는 항상 서비스창구에서 대기상태를 유지해야 한다. 이러한 전제조건은 고객의 입장에서는 즉시 서비스를 제공받을 수 있다는 편리성이 담보되지만 대기시스템을 운영하는 운영자 입장에서는 고객이 없음에도 불구하고 서비스창구에 server를 배치해야 하기 때문에 server의 업무활용도가 낮아지게 됨을 감수해야 한다. 일반적인 대기모형에서 나타나는 이러한 문제점, 즉 server의 업무활용도를 향상시키기 위해 제안된 방법 중의 하나가 대기모형의 또 다른 형태로 분류되는 조정 가능한 대기모형이라고 할 수 있다. 조정 가능한 대기모형에서는 서비스를 받기 위해 대기시스템에서 기다리는 고객이 없으면 즉시 서비스를 제공하는 창구를 폐쇄한 다음, server에게는 다른 업무를 수행하도록 해야 한다. 이러한 규칙이 적용됨으로써 server는 서비스창구에서의 업무와 서비스창구 폐쇄된 후에도 또 다른 업무를 수행해야 하기 때문에 server의 업무활용도를 증가시킬수 있다. 또한 일단 폐쇄된 창구는 미리 정해진 조건이 만족되어야만 server는 다른 업무의 수행을 중단하고 서비스를 기다리는 고객들을 위하여 서비스창구로 복귀하여 다시 서비스제공을 재개할 수 있다. 다시 말해 서비스창구 폐쇄 후 도착한 고객은 미리 정해진 조건을 만족하지 않을 경우 서비스를 제공받을 수 없다. 이러한 폐쇄된 서비스창구의 운용을 다시 재개할 수 있도록 미리 정해진 조건을 조정가능한 대기모형의 운용방침(operating policy)라고 한다. 따라서 조정가능한 대기모형에서는 폐쇄된 서비스창구의 운용을 재개되기 위한 시스템상태를 규정하는 운용방침의 역할이 매우 중요함을 알 수 있다. 다양한 형태의 운용방침이 제안되어 활용되고 있지만[13] 이러한 운용방침들은 시스템상태를 표현하는 입력변수의 개수에따라, 즉, 하나, 둘 그리고 세 개이냐에 따라 단순 운용방침(simple operating policy), 이변수 운용방침(dyadic operating policy) 그리고 삼변수 운용방침(triadic operating policy)으로 분류된다. 

가장 대표적인 단순 운용방침에는 Yadin and Naor[14]가 제안한 것으로 대기시스템 내부에 서비스를 기다리는 고객이 없어 폐쇄된 서비스창구는 그 후 서비스를 받기 위해 기다리는 고객의 수가 처음으로 N ( N  ≥ 1 ) 명이 되는 순간 폐쇄된 서비스창구의 운용을 재개하여 기다리는 고객에게 서비스를 제공하는 N 운용방침(N-policy)이 있으며, Heyman[4] 등이 제안한 운용방침으로 서비스창구가 폐쇄된 후 T 단위시간이 경과한 뒤, 만약 서비스를 기다리는 고객이 있을 경우 서비스창구의 운용을 재개하여 서비스의 제공이 개시되는 운용방침(T-policy) 그리고 마지막으로 Balachandran and Tijms[1]이 제안한 것으로 서비스창구가 폐쇄된 이후 시스템 내부에서 서비스를 기다리는 고객의 예상되는 서비스의 시간의 합이 처음으로 D 단위시간을 초과하는 순간부터 기다리는 고객에게 서비스제공을 재개하는 D 운용방침(D-policy)이 있다. 

기다리는 고객이 없어 폐쇄된 서비스창구의 운용을 재개하기 위해 단순 운용방침이 적용되는 조정가능한 대기모형은 server를 일반적인 대기모형 보다는 효율적으로 활용할 수 있는 장점이 있다. 그러나 시스템의 상태를 나타내는 다양한 조건들 중에 단지 한 가지 대기시스템 상태에만 의존하여 폐쇄된 서비스창구의 운용이 재개되기 때문에 시스템 운영에 유연성이 부족하다고 볼 수 있다. 이러한 문제점을 보완하기 위해 하나의 단순 운용방침에 또 다른 하나의 단순 운용방침을 적절하게 결합한 새로운 형태의 운용방침, 즉 이변수 운용방침(dyadic operating policy)이 Gakis et al.[3]에 의해 제안되었다. 폐쇄된 서비스창구의 운용이 재개될 수 있는 조건은 추가된 단순 운용방침으로 인해 유연성이 증가된 이변수 운용방침은 선정된 두 운용방침이 특이한 형태로 결합된 것으로 Min(N, T), Min(T, D), Min(N, D), Max(N, T), Max(T, D) 그리고 Max(N, D) 운용방침이 제안되어 있다. 이러한 이변수 운용방침은, 예를 들면, Min(N, D) 운용방침이 적용될 경우, 서비스를 기다리는 고객이 없어 폐쇄된 서비스창구는 N 혹은 D 운용방침에 따르는 조건 중 어느 것이나 먼저 만족되는 순간 폐쇄된 서비스창구의 운용을 재개하여 즉시 서비스 제공이 개시되어야 하며, Max(N, D) 운용방침이 적용될 경우에는 N 운용방침과 D 운용방침에 따르는 두 조건 모두가 처음으로 만족될 때 폐쇄된 서비스창구의 운용이 재개되어 서비스 제공이 즉시 개시되어야 한다. 다른 이변수 운용방침도 유사한 의미로 정의된다[3, 6, 7]. 

이러한 이변수 운용방침은 단순 운용방침보다는 server에게 어느 정도의 유연성을 부여할 수 있다는 것은 커다란 장점으로 평가될 수 있다. 따라서 최근에는 server에게 보다 많은 유연성을 확보하기 위한 일환으로 세가지 단순 운용방침이 모두 결합된 Min(N, T, D) 운용방침과 Max(N, T, D) 운용방침과 같은 삼변수 운용방침(triadic operating policy)이 Rhee[9]에 의해 제안되었다. 이변수 운용방침들과 유사하게 Min(N, T, D) 운용방침이 적용되는 경우, 서비스를 기다리는 고객이 없어 창구가 폐쇄된 후 N 혹은 T 혹은 D 운용방침이 적용되는 세 조건 중 어느 것이나 가장 먼저 충족되는 순간 server는 수행중인 다른 업무를 중단하고 폐쇄된 서비스창구에 복귀하여 서비스를 기다리는 고객들에게 서비스 제공을 개시하여야 한다. 또한 Max(N, T, D) 운용방침이 적용되는 경우, 서비스를 기다리는 고객이 없어 서비스창구가 폐쇄된 다음 N과 T와 D 운용방침의 모든 조건이 처음으로 만족되는 순간 server는 수행중인 다른 업무를 중단하고 폐쇄된 창구에 복귀하여 기다리는 고객들에게 서비스제공을 개시하여야 한다. 제안된 Min(N, T, D) 운용방침은 고객의 입장에서는 많은 유연성이 확보되어 있지만 대기시스템을 운영하는 입장에서는 그러하지 않을 수 있으며, 또한 Max(N, T, D) 운용방침은 대기시스템 운영자에게 지나친 유연성을 제공하지만 서비스를 제공받아야 하는 고객의 입장에서는 원하지 않는 많은 대기시간을 감수해야 하는 불편함이 따른다. 따라서 유연성을 확보하면서 고객과 대기시스템의 운영자의 입장을 동시에 고려할 수 있는 새로운 형태의 삼변수 운용방침인 Med(N, T, D) 운용방침이 Rhee and Oh[8]에 의해 제안되었다. Med(N, T, D) 운용방침이 적용될 경우 대기시스템에 서비스를 받기 위한 고객이 없으면 server는 서비스창구를 즉시 폐쇄하고 다른 업무를 수행해야 한다. 그 후, 세 종류의 단순 운용방침들 중 처음으로 두종류의 단순 운용방침의 조건이 만족되는 순간 server는 수행중인 다른 업무를 중단하고 서비스창구로 복귀하여 기다리는 고객들에게 서비스를 제공하기 시작하여 다시 고객이 없을 때까지 서비스 제공을 계속한다. 새로이 제안된 삼변수 Med(N, T, D) 운용방침에는 삼변수 Min(N, T, D)와 Max(N, T, D) 운용방침과 모든 이변수 운용방침 그리고 단순 운용방침을 특수한 경우로 포함하고 있기때문에 가장 일반화된 삼변수 운용방침이라고 할 수 있다[8]. 

2. 연구 목적

일반적으로 조정 가능한 대기모형을 실제 산업현장에서 직접 활용하기 위해서는 채택된 운용방침이 적용되었을 때 기대되는 비용과 효과를 운용방침에 포함되어 있는 입력변수 N, T 그리고 D의 최적해를 결정한 다음 그 결과에 따라 운용되어야 한다. 운용방침에 포함되어있는 입력변수의 최적해를 유도하기 위한 과정에는 시스템 내부에 있는 고객수의 기대값, 고객에게 서비스를 제공하고 있는 server 수의 기대값, 대기모형이 운용될 때의 busy period의 기대값 등이 필요하다. 여기에서 busy period는 서비스를 기다리고 있는 첫 고객에게 서비스를 제공하기 시작하는 순간부터 서비스를 기다리는 고객이 없어 서비스창구를 폐쇄할 때까지의 시간간격으로 정의된다[12]. 

여기에서 언급된 시스템 특성치는 한 사람의 고객이 시스템 내부에서 단위시간을 기다리는데 필요한 비용, 한 사람의 server가 고객에게 단위시간의 서비스를 제공하는데 필요한 비용 그리고 서비스창구를 폐쇄하고 재개하는데 필요한 비용과 결합되어 시스템 운용에 필요한 단위시간당 기대되는 총비용함수를 구성하게 된다. 따라서 단위시간당 기대되는 총비용함수를 구성하기 위해 필요한 다양한 시스템 특성치는 운용방침에 입력변수의 수가 증가하면 증가할수록 유도과정에서 발생되는 어려움과 복잡한 정도가 매우 커지며 실제상황에서 적용하기가 매우 어려워지는 특징이 있다. 다시 말해 이변수 혹은 삼변수 운용방침이 적용될 때와 단순 운용방침이 적용될때의 경우를 살펴보면 쉽게 확인할 수 있다[8]. 또한 실제값을 계산할 수 있는 관계식이 유도된다 하더라도 다변수 운용방침이 적용되는 경우 매우 복잡한 형태로 주어지기 때문에 실제값을 계산하기가 어렵고 복잡할 뿐만아니라 실제값을 계산한다 하더라도 계산하는 과정에서 많은 오차가 발생할 수 밖에 없기 때문에 정확한 값을 찾아내기가 매우 어렵게 되는 문제에 봉착하게 된다. 이러한 문제점을 해결하기 위한 하나의 방편으로 가장 많은 유연성을 지닌 삼변수 Med(N, T, D) 운용방침이 적용될 때 busy period의 기대값의 근사값을 확보할 수 있는 상한과 하한을 단순운용방침과 이변수 운용방침이 적용될 때의 busy period 기대값으로 표현함을 본 연구의 목적으로 설정한다. 이러한 결과는 실제값이 필요한 긴급한 상황이 발생하거나 많은 시간과 노력 없이도 합리적인 근사값의 범위를 미리 파악함으로써 신속한 의사결정 과정에서 활용할 수 있다. 

3. 대기모형의 정의

안정상태(steady-state)에 있는 M/G/1 대기모형에 관하여 다음과 같은 사항을 가정한다.

(i) 서비스를 받기 위해 대기시스템에 도착하는 고객들은 단위시간당 평균 λ명인 포아송과정(Poisson process)에 따른다. 다시 말해, 연속된 두 고객의 평균 도착시 간간격은 이다. 즉 t단위시간 동안 시스템에 도착하는 고객의 수를 나타내는 확률변수를 N(t)라고 하면, j = 0, 1, 2, 3, ···에 대해 N(t)의 확률질량함수(probability mass function)는 다음과 같이 주어진다. 

 
또한 식 (1)을 사용하여 H_n (T)를 다음과 같이 정의한다.

(ii) i번째 고객에게 소요되는 서비스 시간을 나타내는 확률변수를 S_i라고 정의하며 S_i는 평균이 인 상호독립이며 동일한(identical) 임의의 확률분포라고 가정한다. S_i의 공통확률밀도함수(common probability density function)를 f_s(⋅)로 표시한다. 또한 G ⁽ⁿ⁾ (D)를 다음과 같이 정의한다.

여기에서 [f_s(t)]^*(j) 은 f_s(⋅)의 n차 중첩(n-fold convolution)을 뜻한다.

(iii) B₀ : 일반적인 M/G/1 대기모형의 busy period를 나타내는 확률변수로 정의한다. B₀의 기대값을 E[B₀]로 정의하면 다음과 같이 주어진다[2, 5].
 
(iv) 기타 언급되지 않은 사항은 일반적인 M/G/1 대기모형의 가정에 따른다.

3. Busy Period 기대값 유도

조정가능한 M/G/1 대기모형에 단순 N, T, D 운용방침이 적용되었을 때 busy period의 기대값을 각각 E[B_N], E[B_T], E[B_D] 그리고 이변수 Min(N, T), Min(T, D), Min(N, D), Max(N, T), Max(T, D), Max(N, D) 운용방침 적용되었을 때 busy period의 기대값을 각각 E[B_Min(N,T)], E[B_Min(T,D)], B_Min(N,D)], E[B_Max(N,T)], E[B_Max(T,D)], B_Max(N,D)], 그리고 삼변수 Med(N, T, D) 운용방침이 적용되었을 때 busy period의 기대값을 E[B_Max(N,D)]라면 다음과 같이 유도된다[3, 6~10]. 

단순, 이변수 그리고 삼변수 운용방침이 적용되었을때의 busy period의 기대값은 가상확률밀도함수(pseudo probability density function)을 사용하면 쉽게 유도 될 수있으며[6] 또한 E[B₀], H_n (T) 그리고 G ⁽ⁿ⁾(D)의 값은 식 (4), 식 (2) 그리고 식 (3)에 각각 주어져 있다. 

4. 삼변수 Med(N, T, D) 운용방침이 적용되었을때 Busy Period 기대값 분석

식 (14)에서 주어진 삼변수 Med(N, T, D) 운용방침이 적용될 때의 busy period는 다음과 같은 관계식을 만족함을 확인할 수 있다[11].

 

여기에서 E[B_Max(N,T,D)] 는 삼변수 Max(N, T, D) 운용방침이 조정가능한 M/G/1 대기모형에 적용될 때 busy period 기대값을 나타내며 다음과 같이 유도된다.
 

5. 삼변수 Med(N, T, D) 운용방침이 적용되었을때 Busy Period 기대값의 상한 유도

조정가능한 M/G/1 대기모형에 삼변수 Max(N, T, D) 운용방침이 적용되었을 때의 busy period 기댓값 E[B_Max(N,T,D)]는 다음과 같은 부등식을 만족한다[10]. 

그리고 식 (15)로 부터

식 (16)에서 주어진 B[_Max(N,T,D)]를 위에서 주어진 부등식에 대입하면
 

따라서 위 부등식을 간단히 하면 아래와 같은 E[B_Med(N,T,D)]의 상한이 유도됨을 알 수 있다. 

E[B_N], E[B_T], E[B_D], E[B_Min(N,T,)], E[B_Min(T,D)], 그리고 E[B_Min(N,D)]는 식 (5)부터 식 (10)에 각각 주어져 있다. 

또한 아래와 같이 성립되는 다양한 이변수 운용방침이 적용되었을 때 busy period 기대값 사이의 관계식을 사용하면[7]
 
아래의 관계식이 성립된다.

따라서 식 (18)과 부등식 (17)을 결합한 다음 간단히하면 아래와 같은 B[_Med(N,T,D)]의 또 다른 형태의 상한이 유도된다.
 

여기에서 E[BN], E[BT], E[BD],는 식 (5)~식 (7)에 그리고 E[B_Max(N,T)], E[B_Max(T,D)], E[B_Max(N,D)]는 식 (11)~식 (13)에 각각 주어져 있다. 

6. 삼변수 Med(N, T, D) 운용방침이 적용되었을 때 Busy Period 기대값의 하한 유도

조정가능한 M/G/1 대기모형에 삼변수 Max(N, T, D) 운용방침이 적용되었을 때 아래와 같은 부등식이 성립됨을 알 수 있다[10].
 

따라서 식 (15)에서 주어진 E[B_Max(N,T,D)]와 E[B_Me(N,T,D)]와의 관계식을 위의 부등식에 대입한 다음 간단히 하면 아래와 같은 B[_Med(N,T,D)]의 또 다른 형태의 하한이 유도된다.
 

그리고 E[B_Min(N,T)], E[B_Min(T,D)], B_Min(N,D)] 는 식 (8)~식 (10)에 각각 주어져 있다. 

또한 식 (18)에서 주어진 관계식을 부등식 (19)에 대입하면 또 다른 형태의 같은 B[_Med(N,T,D)]의 또 다른 형태의 하한이 유도된다.
 
E[B_N], E[B_T], E[B_D], E[B_Max(N,T)], E[ B_Max(T,D)], 그리고 E[ B_Max(N,D)]는 식 (5)부터 식 (7), 그리고 식 (11)부터 식(13)에 각각 주어져 있다.

7. 결 론

본 연구 결과는 다음 관점에서 살펴볼 수 있다. 우선 조정가능한 대기모형에 가장 일반적인 삼변수 Med(N, T, D) 운용방침이 적용되었을 때의 busy period의 기대값은 단순 혹은 이변수 운용방침이 적용되었을 때의 기대값만 사용하여 상한과 하한이 유도되었다는 사실이다. 이는 이론적으로 실제값을 계산할 수 있는 관계식이 유도되었다고 하더라도 매우 복잡한 형태로 표현되면 입력변수의 값을 대입하여 실제값을 계산할 경우 많은 계산상의 오차가 누적되어 포함될 수 밖에 없기 때문에 실제값과는 전혀 다른 값으로 계산될 수 있기 때문이다. 따라서 간단한 형태의 상한과 하한이 주어질 경우 실제값의 존재 범위을 미리 예측할 수 있기 때문에 긴급하게 실제값을 사용해야 할 경우 임시적 활용할 수 있는 대체안으로서의 역할을 기대할 수 있다. 또한 이러한 접근방법은 또 다른 형태의 유사한 특성치에 관련된 분석을 위한 기초자료를 제공하였다고 할 수 있다. 

Acknowledgement

This study has been partially supported by the 2012 Internal Research Fund of the Hannam University, Daejon, Korea. 

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