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ISSN : 2005-0461(Print)
ISSN : 2287-7975(Online)
Journal of Society of Korea Industrial and Systems Engineering Vol.39 No.2 pp.37-45
DOI : https://doi.org/10.11627/jkise.2016.39.2.037

A Development of Expected Loss Control Chart Using Reflected Normal Loss Function

Dong-Hyuk Kim, Young-Bae Chung†
Department of Industrial and Management Engineering, Incheon National University
Corresponding Author : ybchung@inu.ac.kr
February 5, 2016 April 28, 2016 April 29, 2016

Abstract

Control chart is representative tools of statistical process control (SPC). It is a graph that plotting the characteristic values from the process . It has two steps (or Phase). First step is a procedure for finding a process parameters. It is called PhaseⅠ. This step is to find the process parameters by using data obtained from in-controlled process. It is a step that the standard value was not determined. Another step is monitoring process by already known process parameters from PhaseⅠ. It is called Phase Ⅱ. These control chart is the process quality characteristic value for management, which is plotted dot whether the existence within the control limit or not. But, this is not given information about the economic loss that occurs when a product characteristic value does not match the target value. In order to meet the customer needs, company not only consider stability of the process variation but also produce the product that is meet the target value. Taguchi’s quadratic loss function is include information about economic loss that occurred by the mismatch the target value. However, Taguchi’s quadratic loss function is very simple quadratic curve. It is difficult to realistically reflect the increased amount of loss that due to a deviation from the target value. Also, it can be well explained by only on condition that the normal process. Spiring proposed an alternative loss function that called reflected normal loss function (RNLF). In this paper, we design a new control chart for overcome these disadvantage by using the Spiring’s RNLF. And we demonstrate effectiveness of new control chart by comparing its average run length (ARL) with x-R control chart and expected loss control chart (ELCC).

Reflected Normal Loss Function , Expected Loss , Control Chart , Average Run Length

역정규 손실함수를 이용한 기대손실 관리도의 개발

김 동혁, 정 영배†
인천대학교 산업경영공학과

초록

    1서 론

    기업이 시장에서 생존할 수 있는 전략은 좋은 품질의 제품을 생산하여 소비자들에게 공급하는 것이다. 이는 해 당 시장에서 경쟁우위를 유지할 수 있도록 하는 중요한 요 건이 되었다. 기업이 이러한 생존전략을 세우고 목표를 달성하기 위해서는 고품질의 제품을 생산해야 하며, 목표 에 따라 기업은 공정이 가지는 산포를 적정한 수준으로 관리해야 한다. 공정산포를 기업이 목표로 하는 수준으로 관리하기 위해서 공정으로부터 취한 데이터를 분석하여 과학적으로 공정을 관리하는 방법론, 즉 통계적 공정관리 (Statistical Process Control)를 채택하여 활용하여야 하며 그에 해당하는 대표적인 도구가 관리도(Control Chart)이다.

    관리도는 공정의 상태를 나타내는 품질특성 값에 대 하여 그린 그래프이다. 이는 신공정 도입이나 새로운 공 정라인을 편성했을 시 공정이 관리 상태인가를 평가하기 위한 표준값이 정해지지 않은 관리도와 공정의 모수가 알려져 있어 이를 이용하여 공정의 관리상태 유무를 관 리하기 위해 활용되는 표준값이 정해진 관리도가 있다.

    관리도의 목적은 공정에 존재하는 산포를 목표로 하 는 적정한 수준으로 관리하는 것이다. 공정에는 현재 보유 기술로 관리가능 요소를 모두 관리하여도 나타나는 우연 원인(불가피 원인)과 관리 부재에 의해 나타나는 이상 원인(가피 원인)이 존재 한다. 관리도의 중요한 역할은 공정에 이상 원인이 침투하였을 때 가능한 조기에 탐지 하여 관리자에게 신호를 보내는 것이다[2]. 이상신호를 받은 관리자는 해당 원인이 나타난 것에 대한 발생근거 를 조사하고 이에 대하여 적절한 현장 조처를 취해 공정 에 우연원인에 의한 산포만 존재하게 하는 것이 관리도 의 목적이라 할 수 있다.

    Shewhart 관리도는 3σ, 즉 해당 공정이 가지는 산포를 근거로 관리한다. 이는 공정의 산포와 중심위치에 대한 정보를 사용하여 공정의 관리상태를 감시하고자 하는 도 구이다. 이 경우 타점되는 품질특성치가 관리한계 내에 존재 여부로 공정상태를 판단하며 이러한 관리한계는 공 정이 가지는 산포인 σ에 대한 정보를 기준으로 형성 된 다. 그러므로 기존 Shewhart 관리도는 제품 특성치가 규 격을 만족하더라도 목표치와 일치하지 못했을 경우 발생 하는 사회적 손실에 대한 정보까지 얻을 수는 없다. 품질 에 대한 고객의 높은 요구를 만족시키기 위해서는 공정 을 관리함에 있어서 산포의 안정성만 고려할 것이 아니 라, 기업에서 가장 이상적(ideal)인 품질특성치라 할 수 있는 목표치에 부합하는 제품을 생산할 수 있도록 하는 공정관리가 필요하다.

    Kim and Chung[6]은 Taguchi의 2차 손실함수(QLF : Quadratic Loss Function)를 이용하여 공정에서 목표치와 일치하지 않는 제품이 생산됨으로 인하여 발생하는 기대 손실을 이용하여 경제적 손실의 개념을 포함한 공정관리 도구인 기대손실 관리도(ELCC : Expected Loss Control Chart)를 설계한 바 있다. ELCC는 Taguchi의 QLF의 기 대가인 E[L(X)]를 중심으로 해당 손실함수가 가지는 편 차인 D[L(X)]의 3배 거리상에 관리한계를 설정하고 공정 에서 발생하는 기대손실비용을 관리 대상으로 함으로써 공정 산포의 안정성에 대한 관리에 더하여 공정이 목표 치와 어느 정도 부합하는가에 대한 정보까지 포함하여 관리하고자 개발된 도구이다.

    그러나 ELCC에서 적용한 Taguchi의 QLF는 공정의 품질특성치가 정규분포를 따르고 좌우 대칭인 손실함수 를 가질 경우에만 해당 공정에서 발생하는 손실을 잘 설 명해 낼 수 있다는 것과 규격을 벗어났을 경우에도 지속 적으로 손실이 증가하는 것으로 해석을 한다는 단점이 있다.

    Spiring[13]은 이러한 Taguchi의 QLF의 단점을 보완해줄 수 있는 대안적인 손실함수로 역정규 손실함수(RNLF : Reflected Normal Loss Function)를 제안하였다. 이는 특 성치가 목표값으로부터 가지는 손실이 정규분포의 확률 밀도함수의 역함수를 근거로 하는 손실함수이다. 이는 기 존 QLF에 비하여 공정에서 발생하는 손실을 좀 더 합리 적으로 나타낼 수 있다는 것과 공정 분포에 대하여 다양 한 경우에 유연하게 적용이 가능하다는 장점이 있다[12].

    따라서 본 연구에서는 Spiring의 역정규 손실함수를 활용하여 역정규 기대손실 관리도를 설계하고, 기존의 x - R 관리도, ELCC와 성능을 비교함으로써 설계한 관 리도의 효과를 입증하고자 한다.

    2이론적 배경

    2.1x –R 관리도

    2.1.1x 관리도

    x 관리도는 부분군에서 계산된 x 들을 타점하여 공정 의 중심이 변화되고 있는가를 감시하는 관리도이다. x 관 리도의 중심선(CL)은 E(x) = μ, 관리한계선은 중심선을 기준으로 x 의 편차인 D ( x ¯ ) = σ n 의 3배 거리에 있다. 공정 표준값이 정해진 경우는 μ0, σ0를 사용하고 그렇지 않은 경우 각각의 추정치를 사용하여 계산한다.

    2.1.2R 관리도

    R 관리도는 각 부분군에서 계산된 R을 타점한 후 공 정의 산포가 변화되고 있는가를 감시하는 관리도로서 공 정의 군내산포를 감시하고자 하는 관리도이다. R 관리도 의 중심선(CL)은 E(R)= d2σ로 이루어지고 관리한계선은 중심선을 기준으로 R의 편차인 D(R)= d2σ의 3배 거리 에 있다. 표준값이 정해지지 않은 경우 σ를 추정하여 사 용한다.

    2.2기대손실 관리도

    ELCC[6]는 3σ법 관리도와 같이 타점하는 품질특성치 가 갖는 기대손실의 평균값을 중심선으로 하고 이를 기 준으로 기대손실 편차의 3배 거리에 관리한계로 한다.

    이는 Taguchi의 2차 손실함수 중 망목특성의 경우를 적용하여, 각 군에서 발생하는 평균과 편차에 대한 정보 를 이용하여 군마다 발생하는 기대손실인 ELi를 타점하 고자 하는 관리도이다.

    망목특성의 Taguchi 2차 손실함수는 기본적으로 ‘특성 치의 값이 목표치로부터 편차가 크면 클수록 손실이 커 지며 이 편차가 0이면 손실이 없다’라는 가정하에 2차 식으로 근사화한다고 제안하였다[3]. Taguchi의 망목특성 2차 손실함수를 구하는 식은 식 (1)과 같다.

    L ( x ) =k ( x-T ) 2
    (1)

    여기서 k는 발생한 손실을 화폐 단위로 환산해주는 비용 상수로 허용차(± Δ)를 벗어날 경우 소비자가 제품을 수 리하거나 폐기처분하는데 A의 비용이 든다고 했을 경우 k = A Δ 2 으로 구하여 진다. x는 제품 특성치이며 T는 목 표치이다.

    이 경우 기대손실은 다음 식 (2)와 같다.

    E ( L ( x ) ) =E [ k ( x-T ) 2 ] = k [ σ 2 + ( μ − T ) 2 ]
    (2)

    망목특성치의 기대손실 식 (4)에서 볼 수 있듯이 기대 손실이 최소가 되려면 공정평균 μ가 목표치 T와 일치해 야하고, 공정산포 σ2이 작아야 한다는 것을 알 수 있다.

    또한 ELCC의 관리한계를 구하기 위해서 손실함수의 편차를 구할 필요가 있는데 이는 아래 식 (3)과 같다.

    D[L(x)] = k 2 σ 2 [ 2 { σ 2 + 2 ( μ − T ) 2 } ] = k σ 2 { σ 2 + 2 ( μ − T ) 2 }
    (3)

    각 군마다 발생하는 기대손실을 타점하는 EL 관리도 는 공정손실의 기대가인 기대손실을 그 중심선, 즉 기대 손실의 평균값(EL)으로 한다.

    CL = E L ¯
    (4)

    여기에서 E L ¯ = ∑ i = 1 k E L i k 이다.

    EL 관리도의 관리한계는 CL인 EL 를 중심으로 기대손 실 편차의 3배 거리에 설정하고 이들을 구하는 과정은 식 (5)과 같다.

    U C L = E L ¯ + 3 D [ L ( x ) ] n    = E L ¯ + 3 k σ 2 ( σ 2 + 2 ( μ − T ) 2 ) n L C L = E L ¯ − 3 D [ L ( x ) ] n    = E L ¯ − 3 k σ 2 ( σ 2 + 2 ( μ − T ) 2 ) n
    (5)

    이때 기대손실은 0보다 작아질 수 없고, 손실비용이므 로 망소특성의 개념으로 접근하여 관리하한선은 고려하 지 않는다.

    2.3역정규 손실함수

    Spiring[13]은 Taguchi가 제안한 2차 손실함수의 대안 적인 손실함수로 역정규 손실함수(RNLF)를 제안하였다. 이는 기존 2차 손실함수와 비교 하였을 때 목표치와 품 질특성치의 차이에 의해 발생하는 변동에 따른 손실을 보다 합리적으로 설명해줄 수 있다. 손실함수에서 손실 은 항상 양의 값을 가지며, 목표치에서 멀어질수록 공정 의 산포는 증가하고 그에 대한 손실 또한 증가한다는 일 반적 특성이 있다. 활용하고자 하는 역정규 손실함수인 정규분포의 역함수는 (-∞, T] 구간에서 감소하고 [T, ∞) 구간에서는 증가하는 두 경우의 성향 모두를 반영하며 목표치에서 유일한 최소값을 갖는다는 점에서 이러한 일 반적인 특성을 잘 반영하고 있다. 공정의 특성치 x가 정 규분포를 따르는 경우를 가정할 때 x에 대한 확률밀도함 수 f(x) 는

    f ( x ) = 1 2 π σ 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , − ∞ < x < ∞
    (6)

    이다. 따라서 목표치 T에 대한 공정 특성치 x가 정규분 포를 따른다면 해당 함수의 확률밀도함수 g(x, T)를 구하 면 다음과 같다.

    g ( x,T ) = 1 2 π γ 2 e − ( x − T ) 2 2 γ 2 , − ∞ < x < ∞
    (7)

    여기서 T는 공정에서 목표치이고, γ는 형상모수이다. 형 상모수 γ를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

    γ = Δ 4
    (8)

    여기서 Δ는 최대손실비용 A가 첫 번째 발생하는 시점 에서 목표치로부터 떨어진 거리를 의미한다. 즉 이것은 역정규 손실함수에서는 목표치로부터

    ± ∞에서 점근적으로 특정 값에 수렴하지만, 현실적으 로 ± 4σ의 거리(99.99% 이내)에서 실질적 최대손실 A가 발생한다는 의미이다. 형상모수 γ가 증가 할수록 손실의 증가 폭은 완만해지고, 반대의 경우 손실증가 폭은 급격 해진다. 이에 따른 역정규 손실함수 L(x, T)는 다음 식 (9)와 같다.

    L ( x,T ) = A [ 1 − 1 2 π γ 2 e − ( x − T ) 2 2 γ 2 , 1 2 π γ ] = A ( 1 − e   − ( x − T ) 2 2 γ 2 )
    (9)

    3역정규 기대손실 관리도의 설계

    3.1역정규 기대손실 관리도

    역정규 손실함수를 이용한 기대손실 관리도(RNEL Control Chart)는 각 군에서 채취한 특성치들의 평균인 x ¯ i 로 부터 목표치 T와의 편차에 의해 발생하는 손실 L(x, T)의 기대손실인 RNELi ( x ¯ i , T) 를 타점하여 품질특성치가 목 표치와 일치하지 않기 때문에 발생하는 기대손실을 관리 하기 위한 도구이다.

    이러한 역정규 손실함수를 이용한 관리도 설계를 위 해 중심선으로 활용할 역정규 기대손실과 관리한계선 설 정을 위한 편차를 구하여 사용하고자 한다.

    3.1.1역정규 기대손실

    역정규 손실함수의 기대손실을 산출해내기 위해 공 정 특성치의 분포의 확률밀도함수를 f(x)라 하고 목표 치에 대한 확률밀도함수로써 손실함수에 이용되는 분 포의 확률밀도함수를 함수 g(x, T)로 나타내면, g(x, T) 의 역함수에 근거한 손실함수 L(x, T)는 다음 식 (10)과 같다[1].

    L ( x,T ) = A ( 1 − g ( x , T ) m )   ∀ x ∈ Ω = ( 단, m= 1 2 π γ )
    (10)

    여기서 m은 함수 g(x, T)가 최대로 도달할 수 있는 값 이고, A는 규격을 벗어났을 경우 발생하는 최대의 손실 이며, Ω는 x값이 가지는 범위로 (– ∞, ∞)이다. 또한 m 은 품질 특성치 x가 목표치 T와 일치할 때의 g(x, T) 함 수 값이 최대가 되므로 m은 x = T일 때 g(x, T)의 값이 된다.

    목표치에 대한 함수 g(x, T)의 역함수에 근거해서 구해 진 손실함수 L(x, T)와 실제 공정 특성치가 따르는 분포에 대한 함수 f(x)를 대입하면 이에 따른 기대손실 E[L(x, T)] 를 구할 수 있다. 공정 특성치가 정규분포를 따르는 경우 정규분포의 역함수에 근거한 손실함수의 기대손실은 다 음 식 (11)과 같다.

    E [ L ( x,T ) ] = A [ 1 − 1 m ∫ − ∞ ∞ g ( x , T ) f ( x ) d x ] = A [ 1 − ∫ − ∞ ∞ ( 1 2 π σ 2 e − 1 2 ( ( x − T ) 2 γ 2 + ( x − μ ) 2 σ 2 ) ) d x ]
    (11)

    으로 표현될 수 있다[13].

    그러므로 식 (13)에 위의 식 (14)를 대입하면 역정규 손실함수의 기대손실 E[L(x, T)]은 다음 식 (12)와 같이 표현된다.

    E [ L ( x,T ) ] = A [ 1 − ∫ − ∞ ∞ 1 2 π σ 2 e − 1 2 ( σ 2 + γ 2 σ 2 γ 2 ( x − σ 2 T + γ 2 μ σ 2 + γ 2 ) 2 + ( μ − T ) 2 σ 2 + γ 2 ) d x ] = A [ 1 − γ σ 2 + γ 2 e ( − 1 2 ( ( μ − T ) 2 σ 2 + γ 2 ) ) ]
    (12)

    3.1.2역정규 기대손실 편차

    식 (12)에서 역정규 손실함수의 기대손실은 언급하였 으므로 역정규 기대손실 관리도의 관리한계선을 구하기 위한 역정규 기대손실 편차 D[EL( μ ^ i , T)]를 구해야 한다. 이때 μ ^ i 는 각 군으로부터 구할 수 있는 위치모수 추정치 이다. 이는 각 군에서 발생하는 기대손실들로부터 산출 해 낼 수 있으며 이는 아래 식 (13)과 같다.

    D [ EL ( μ ^ , T ) ] = R ¯ 2 d 2
    (13)

    이때 d2는 군의 크기 n = 2일 경우에 해당하는 관리계 수로 1.128로 적용한다. 또한 Rs는 각 군에서 타점하는 EL( μ ^ i , T) 로부터 산출한 이동범위 들의 평균이며, 그에 대한 산출식은 아래 식 (14)과 같다.

    R ¯ s = ∑ i − 1 k − 1 R s i k − 1
    (14)

    3.2관리선 설정

    3.2.1중심선 및 관리한계선

    역정규 기대손실 관리도는 역정규 손실함수에 의해 각 군으로부터 산출되는 기대손실들의 평균값을 그 중심선 (CL)로 설정하며 이는 다음 식 (15)와 같다.

    CL = E L ¯ ( μ ^ i , T )
    (15)

    여기에서 E L ¯ ( μ ^ i , T ) = ∑ i = 1 k E L ( μ ^ i , T ) k 이고 μ ^ i 는 각 군 으로부터 구한 표본평균 x ¯ i 를 사용한다.

    역정규 기대손실 관리도의 관리한계는 중심선(CL)인 E L ¯ ( μ ^ i , T ) 를 중심으로 기대손실 편차의 3배 거리에 설정 하고 이들을 구하는 식은 다음 식 (16)과 같다.

    UCL, LCL = E L ¯ ( μ ^ i , T ) ± 3 D [ E L ( ( μ ^ i , T ) ) ] n = E L ¯ ( μ ^ i , T ) ± 3 R ¯ s n × d 2
    (16)

    역정규 기대손실 관리도에서 타점하는 특성치는 각 군 에서 발생하는 기대손실비용으로 최소값이 0이고, 망소 특성이므로 관리하한선은 고려하지 않도록 한다.

    4수치 예

    관리도의 성능을 평가함에 있어 타점되는 특성치가 관 리한계선을 벗어날 확률인 p와 관측치가 처음으로 관리 한계를 벗어날 때까지의 타점 수(RL : Run Length)의 평 균인 평균 런 길이(ARL : Average Run Length)에 의해 평가될 수 있다. 표준값이 정해져 있는 관리도는 공정에 변화가 생겼을 경우 관리자에게 신속하게 신호를 주어야 하므로 ARL 값이 작을수록 이상 원인을 탐지할 수 있는 능력이 좋은 것이라 할 수 있다[4].

    본 논문에서는 각 관리도에 대해서 관리상태의 공정 표준값을 각각 μ 0 = 0 , σ 0 2 = 1 2 으로 설정하고 기존 x - R , ELCC와 역정규 기대손실 관리도에 대하여 공정 변화 시 각각의 ARL 비교를 통해 설계한 관리도의 효과를 입증 해 보이고자 한다.

    4.1시뮬레이션

    관리도의 성능을 확인하기 위하여 수치 예를 위한 설 정을 하도록 한다. 군의 크기 n = 5, 군의 수 k = 30으로 설정하여 타점하도록 설계한다. 또한 역정규 기대손실 관리도를 위한 비용상수는 단위당 손실비용 A = 100, 목 표치 T = 0으로 적용하였으며 규격은 T± 4로 좌우 대칭 의 경우에 대하여 타점되는 x , R, ELi , EL(xi, T)i 를 계산 하였다. 이때 기대손실 관리도의 경우 세로축은 손실비 용이 된다.

    본 시뮬레이션에서는 다음과 같이 공정에 변화가 생 긴 경우 존재할 수 있는 세 가지 상황을 가정하여 수치 예를 보이고자 한다.

    • (1) 공정이 관리소홀에 의하여 평균에 이상이 생겨 N(0, 12) 에서 N(0+δμ, 12)로 공정에 δμ만큼 변화가 생겼을 경 우이며, 이때 평균 변화량 δμ는 0.5, 1.0, 1.5로 각각 변화를 주었다.

    • (2) 공정이 관리소홀에 의하여 산포에 이상이 생긴 경우 로 N(0, 12)에서 N(0, (1× δσ)2)로 공정에 δσ만큼 변화 가 생겼을 경우이며, 이때 산포 변화량 δσ는 1.25, 1.5, 2.0으로 각각 변화를 주었다.

    • (3) 공정이 관리소홀에 의하여 평균과 산포에 이상이 생 긴 경우로 N(0, 12)에서 N(0+δμ, (1× δσ)2)로 공정에 δμ, δσ만큼 변화가 생겼을 경우로 이때 평균과 산포 변화 량 (δμ , δσ )는 각각 (0.5, 1.25), (0.5, 1.5), (1.0, 1.25), (1.0, 1.5)로 각각 변화를 주었다.

    <Table 1>은 공정 평균에 변화가 생긴 경우의 결과를 나타낸다. <Figure 1(A)>~<Figure 1(C)>는 평균변화의 경 우들 중 평균변화량이 0.5일 때 각 관리도 타점 양상을 보 여주며 이때 사용된 data set은 <Table 2>와 같다. <Table 3>은 공정 산포에 변화가 생긴 경우의 결과를 나타낸다. <Figure 2(A)>~<Figure 2(C)>는 산포변화의 경우들 중 산 포변화량이 1.25일 때 각 관리도타점 양상을 보여주며 이 때 사용된 data set은 <Table 4>와 같다. 마지막으로 <Table 5>는 공정 평균과 산포에 모두 변화가 생긴 경우의 결과를 나타낸다. <Figure 3(A)>~<Figure 3(C)>는 평균과 산포가 모두 변한 경우들 중 평균변화량이 0.5, 산포변화량이 1.25 일 때 각 관리도의 타점 양상을 나타내며 이때 사용된 data set은 <Table 6>과 같다. <Figure 1(B)>, <Figure 2(B)>, <Figure 3(B)>

    4.2시뮬레이션 결과

    본 논문에서 설계한 역정규 기대손실 관리도와 x-R 관리도, ELCC의 성능 비교를 위하여 동일한 데이터 세 트를 활용하여 각각의 관리도에 적용시켜 타점을 해보았 으며 그에 의하여 산출되는 p 값과 ARL 값을 <Table 1>, <Table 3>, <Table 5>에서 비교하였다.

    공정에 변화가 생긴 경우 타점치가 관리한계를 벗어날 사건에 대한 확률인 p 값이 클수록, ARL 값이 작을수록 공정 변화를 탐지해 내는 능력이 우수한 것이라 할 수 있다.

    공정 평균이 변화된 경우 δμ 값이 0.5, 1.0, 1.5로 변화 되었을 때 <Table 1>에 확인할 수 있듯이 x-R 관리도, ELCC, 역정규 기대손실 관리도 모두 변화량이 커질수록 p값의 증가와 ARL의 감소를 보였다. 그러나 ELCC의 경 우 평균의 작은 변화량인 0.5의 경우에서 기존 x 관리도 보다 현저하게 대응력이 떨어지는 모습을 보였다. 산포 가 변화된 경우는 <Table 3>, 평균과 산포 모두 변화된 경우는 <Table 5>에서 각각 그 결과를 확인할 수 있으며 이들 모두 변화량이 증가할수록 각 관리도의 p값의 증가 와 ARL 값의 감소를 확인 할 수 있으며 이들 중 가장 작은 ARL 값을 가지는 관리도가 역정규 기대손실 관리 도임을 확인할 수 있다.

    또한 해당 수치 예에서 공정의 표준값을 각각 μ2 = 0, σ 0 2 = 1 2 의 경우로 보았을 때, 기존 x - R 관리도에서는 검 출해 내지 못한 이상 원인이 ELCC와 역정규 기대손실 관 리도에서는 추가로 검출되는 모습을 확인 할 수 있다. 이 는 <Table 2>, <Table 4>, <Table 6>에서와 같이 공정 목 표값인 ‘0’을 만족시키지 못하기 때문에 발생하는 손실에 대한 정보까지 추가로 고려한 결과로 해석된다.

    이에 더하여 ELCC 관리도에서 사용된 QLF는 특성치 가 목표치로부터 멀어질 경우 손실이 일정하게 증가하는 것으로 해석하는 반면, 역정규 손실함수는 손실의 형태 가 정규분포 확률밀도함수를 뒤집어 놓은 형태이므로 목 표치와 인접한 부분에서부터 급격한 손실의 증가를 반영 하여 비용으로 나타내기 때문에 ELCC보다 공정변화에 좀 더 즉각적으로 대응할 수 있게 한다.

    수치 예의 결과에서 확인 할 수 있듯이 세 가지 경우의 공정변화에 대하여 이를 탐지해내는 능력을 비교해본 결 과 본 연구에서 설계한 역정규 기대손실 관리도가 x-R 관리도, ELCC보다 더 우수하다고 할 수 있다.

    5결 론

    전통적인 Shewhart 관리도는 공정이 가지고 있는 산포 에 대한 안정성을 중심으로 공정을 관리하는 도구이다. 하지만 앞서 언급 하였듯이 기업이 생산하는 제품이 시 장에서 성공을 거두기 위해서는 점점 더 고품질의 제품 생산을 필요로 한다. 기업에 있어 경쟁력을 갖춘 제품이 란 단순히 규격을 만족하는 제품이 아니라, 가장 이상적 인 품질특성치인 목표치와 부합하는 제품이며 이를 안정 적으로 만들어 낼 수 있는 능력과 그에 따른 관리 기술 이 요구된다.

    본 연구에서 제시하고자 하는 역정규 기대손실 관리도 (RNEL Control Chart)는 전통적인 관리도와 비교하였을 때 공정 산포의 안정성뿐만 아니라 공정 목표치에 대한 편차에 따라 발생하게 되는 정보까지 포함한 손실비용으 로 공정을 관리하고자 하는 도구이다. 이는 기존 Shewart 관리도에는 없었던 개념이며, Taguchi의 2차 손실함수를 활용한 도구인 ELCC에서 고려한 바 있으나 공정이 정규 공정이며 대칭적인 손실함수의 경우에만 잘 설명이 될 수 있는 한계점이 있다.

    본 연구에서는 이러한 단점을 보완하여 대안적 손실 함수인 Spiring의 역정규 손실함수(RNLF)를 활용하여 좀 더 개선된 기대손실 관리도를 설계하고자 함이 본 논문 의 목적이었다.

    설계한 RNEL 관리도는 수치 예를 통하여 기존 관리 도와 성능을 비교함으로써 그 효과를 입증하였다. 본 연 구에서 제시한 RNEL 관리도는 공정의 이상 원인 탐지 능력이 평균치 변화, 산포 변화, 평균치와 산포 변화 모 두의 경우에 대하여 x-R 관리도, ELCC보다 우수함을 보였다. 또한 사용자에게 제공하는 정보가 목표를 달성 하지 못한 것에 대한 손실비용으로 나타나기 때문에 좀 더 직관적으로 이해하는 것이 가능하다는 장점이 있다.

    이러한 역정규 기대손실 관리도는 기존 Shewhart 관리 도의 보조적 도구로써 활용이 가능하며, 특히 공정을 관 리함에 있어서 정밀측정기기 산업 등 고도의 정밀함을 요구하는 산업군에 대한 높은 적합성을 가질 것이라 기 대된다.

    Figure

    JKISE-39-37_F1A.gif

    x-R Control Chart for N(0.5, 12)

    JKISE-39-37_F1B.gif

    EL Control Chart for N(0.5, 12)

    JKISE-39-37_F1C.gif

    RNEL Control Chart for N(0.5, 12)

    JKISE-39-37_F2A.gif

    x-R Control Chart for N(0, 1.252)

    JKISE-39-37_F2B.gif

    EL Control Chart for N(0, 1.252)

    JKISE-39-37_F2C.gif

    RNEL Control Chart for N(0, 1.252)

    JKISE-39-37_F3A.gif

    x–R Control Chart for N(0.5, 1.252)

    JKISE-39-37_F3B.gif

    EL Control Chart for N(0.5, 1.252)

    JKISE-39-37_F3C.gif

    RNEL Control Chart for N(0.5, 1.252)

    Table

    p and ARL Values in a Case of Mean Shift

    Each x , R Data when the Shifting Mean is 0.5

    p and ARL Values in a Case of Variance Shift

    x, R Data when the Shifting Variance is 1.252

    p and ARL Values in a Case of Mean and Variance Shift

    Each x, R Data when the Shifting Mean is 0.5 and Variance is 1.252

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