1.서 론

서비스를 받으려고 기다리는 상황을 수리적으로 분석 하기 위해 개발된 다양한 형태의 대기모형들은 Yadin과 Naor[14]가 서비스를 제공해 주는 사람, 즉 server의 업무 수행시간을 보다 효율적으로 활용하기 위한 방안으로 조 정가능한 대기모형(controllable queueing model)을 제안한 이후 많은 유용한 모형들이 소개되어 오고 있다. 여기에 해 당되는 대기모형들에는 단순하고 획일적인 일반적 대기 모형(ordinary queueing model)과는 달리 대기시스템을 필 요에 따라 보다 효율적으로 운영하기 위한 적절한 운용 방침을 추가함으로써 시스템을 보다 유연하게 운용할 수 있는 가능성을 제공하였다고 볼 수 있다. 분류된 두 종류 대기모형들의 가장 큰 차이점은 서비스를 받기 위해 기 다리는 고객이 대기시스템에 없을 때, 서비스를 제공하 는 server의 역할과 또한 server가 없을 때 서비스를 받기 위해 대기시스템에 도착하는 고객이 언제 서비스를 받을 수 있는지에 있다고 볼 수 있다. 일반적 대기모형에서는 서비스를 받기 위해 기다리는 고객이 없더라도 server는 앞 으로 도착할 고객에게 즉시 서비스를 제공할 수 있도록 항상 서비스창구에서 대기상태를 유지해야만 한다. 이러 한 조건은 고객의 입장에서는 즉시 서비스를 제공받을 수 있다는 장점이 있지만 대기시스템 운영자 입장에서는 서비스를 받으려는 고객이 없음에도 불구하고 서비스창 구에 항상 운용해야 하는 문제로 인해 server의 업무활용 도가 낮아지게 됨을 간과할 수 없게 된다. 일반적 대기모 형에서 나타나는 이러한 문제점, 즉 낮은 server의 업무활 용도를 향상시키기 위해 제안된 조정가능한 대기모형에 서는 서비스를 받기 위해 대기시스템에서 기다리는 고객 이 없으면 즉시 서비스 창구를 폐쇄한 다음, server를 부 수업무에 활용할 수 있다. 이러한 조건이 적용됨으로써 server는 서비스창구에서의 업무와 서비스창구 폐쇄된 다 음에 유휴시간이 없이 또 다른 부수업무를 수행해야 하 기 때문에 server의 업무활용도가 증가됨을 알 수 있다. 또한 일단 폐쇄된 창구는 미리 정해진 조건이 만족되어 야만 server는 수행중인 부수업무의 수행을 중단하고 서 비스를 기다리는 고객들을 위하여 서비스창구로 복귀하 여 다시 서비스를 제공해야 한다. 다시 말해 서비스창구 폐쇄 후 도착한 고객은 미리 정해진 조건을 만족하지 않 을 경우 서비스를 제공받을 수 없다. 이러한 폐쇄된 서비 스창구의 운용을 다시 재개할 수 있도록 미리 정해진 조 건을 조정가능한 대기모형의 운용방침(operating policy)라 고 한다. 따라서 조정가능한 대기모형에서는 폐쇄된 서 비스창구의 운용을 재개되기 위한 시스템상태를 규정하 는 운용방침의 역할이 매우 중요함을 알 수 있다. 다양한 형태의 운용방침이 제안되어 활용되고 있지만(Teghem[13]), 이러한 운용방침들은 시스템상태를 표현하는 입력변수의 개수에 따라 단순 운용방침(simple operating policy), 이변 수 운용방침(dyadic operating policy) 그리고 삼변수 운용 방침(triadic operating policy)으로 분류할 수 있다.

가장 대표적인 단순 운용방침에는 Yadin과 Naor[14]가 제안한 것으로 대기시스템 내부에 서비스를 기다리는 고 객이 없어 폐쇄된 서비스창구는 그 후 서비스를 받기 위 해 기다리는 고객의 수가 처음으로 N(N ≥ 1)명이 되는 순 간 폐쇄된 서비스창구의 운용을 재개하여 기다리는 고 객에게 서비스를 제공하는 N운용방침(N-policy)이 있으며, Heyman[4] 등이 제안한 운용방침으로 서비스창구가 폐 쇄된 후 T단위시간이 경과한 뒤, 만약 서비스를 기다리 는 고객이 있을 경우 서비스창구의 운용을 재개하여 서 비스의 제공이 개시되는 T운용방침(T-policy) 그리고 마지 막으로 Balachandran과 Tijms[1]이 제안한 것으로 서비스 창구가 폐쇄된 이후 시스템 내부에서 서비스를 기다리는 고객의 예상되는 서비스의 시간의 합이 처음으로 D단 위시간을 초과하는 순간부터 기다리는 고객에게 서비스 제공을 재개하는 D운용방침(D-policy)이 있다.

기다리는 고객이 없어 폐쇄된 서비스창구의 운용을 재 개하기 위해 단순 운용방침이 적용되는 조정가능한 대기 모형은 server를 일반적 대기모형 보다는 효율적으로 활 용할 수 있는 장점이 있다. 그러나 시스템의 상태를 나타내 는 다양한 조건들 중에 단지 한 가지 대기시스템 상태에 만 의존하여 폐쇄된 서비스창구의 운용이 재개되기 때문 에 시스템 운영에 충분한 유연성이 부여되었다고 볼 수 없다. 이러한 문제점을 보완하기 위해 하나의 단순 운용방 침에 또 다른 하나의 단순 운용방침을 적절하게 결합한 새로운 형태의 운용방침, 즉 이변수 운용방침(dyadic operating policy)이 Gakis, Rhee와 Sivazlian[3]에 의해 제안되 었다. 폐쇄된 서비스창구의 운용이 재개될 수 있는 조건 에 두 종류의 단순 운용방침을 활용함으로써 유연성이 증가된 이변수 운용방침은 포함된 두 종류의 단순 운용 방침이 특이한 형태로 결합된 것으로 Min(N,T), Min(T, D), Min(N,D), Max(N,T), Max(T,D) 그리고 Max(N,D) 운용 방침으로 표현된다. 이러한 이변수 운용방침은, 예를 들 면, Min(N,D) 운용방침이 적용될 경우, 서비스를 기다리 는 고객이 없어 폐쇄된 서비스창구는 N 혹은 D운용방침 에 따르는 조건 중 어느 것이나 먼저 만족되는 순간 폐쇄 된 서비스창구의 운용을 재개하여 즉시 서비스 제공이 개시되어야 하며, Max(N,D) 운용방침이 적용될 경우에는 N운용방침과 D운용방침에 따르는 두 조건 모두가 처음 으로 만족될 때 폐쇄된 서비스창구의 운용이 재개되어 서비스 제공이 즉시 개시되어야 한다. 다른 이변수 운용 방침도 유사한 의미로 정의된다(Gakis, Rhee와 Sivazlian [3] 혹은 Rhee[6] 혹은 Rhee와 Oh[7]). 이미 언급된 것처 럼, 이러한 이변수 운용방침은 단순 운용방침보다는 server에게 혹은 시스템 운용에 어느 정도의 유연성을 부여 할 수 있다는 사실로 인해 최근에는 server에게 혹은 시스 템운용에 보다 많은 유연성을 확보하기 위한 일환으로 세 가지 단순 운용방침 모두가 결합된 Min(N,T,D), Max (N,T,D) 그리고 Med(N,T,D) 운용방침과 같은 삼변수 운 용방침(triadic operating policy)이 Rhee[9]에 의해 제안되 었다. 이변수 운용방침들과 유사하게 서비스를 기다리는 고객이 없어 창구가 폐쇄된 후 N 혹은 T 혹은 D운용방 침이 적용되는 세 조건 중 어느 것이나 가장 먼저 충족되 는 순간, 혹은 세 조건 모두가 만족되는 순간, 혹은 세 조 건 중 어느 두 조건이 만족되는 순간 server는 수행중인 부수업무를 중단하고 폐쇄된 서비스창구에 복귀하여 서 비스를 기다리는 고객들에게 서비스 제공을 개시하여야 한다[8].

다양한 형태의 운용방침을 고려할 경우, 고객 혹은 운 영자의 입장에서 보면 상호 상반된 장단점으로 인해 실 제상황에 적용하기 위해서는 상대방에 대해 많은 이해와 협조가 필요할 뿐만 아니라 많은 입력변수가 복잡 다양 하게 결합되어 있어 입력변수의 최적해를 구하기 위해서 는 커다란 어려움이 동반됨을 예상할 수 있다. 이러한 구 조적인 문제를 피하고 보다 현실적인 운용방침을 개발 하여 적용하는 것이 또 하나의 필요한 전략일 수 있다.

본 논문에서는 제 2장에서 (TN) 운용방침이 적용되는 조정가능한 M/G/1 대기모형에 대한 연구의 목적이 기술 되고 그리고 제 3장에서는 연구에 적용되는 대기시스템 이 정의된다. 또한 제 4장에서 연구대상의 대기모형 분 석을 통하여 필요한 시스템 특성치를 유도한 후 제 5장 에서는 시스템운용에 따른 단위시간당 기대되는 총비용 함수를 구축한 다음 제 6장에서 운용방침에 포함된 입 력변수들의 최적해를 유도한다.

2.연구 목적

조정가능한 대기모형을 실제 산업현장에서 직접 활용 하기 위해서는 채택된 운용방침이 적용되었을 때 기대되 는 비용과 효과를 고려하여 운용방침에 포함되어 있는 입력변수의 최적해를 결정한 다음 그 결과에 따라 운용 되어야 한다. 운용방침에 포함되어 있는 입력변수의 최 적해를 유도하기 위한 과정에는 시스템 내부에 있는 고 객수의 기대값, 고객에게 서비스를 제공하고 있는 server 수의 기대값, 대기모형이 운용될 때의 busy period의 기 대값, 등이 필요할 수 있다. 여기에서 busy period는 서 비스를 기다리고 있는 첫 고객에게 서비스를 제공하기 시작하는 순간부터 서비스를 기다리는 고객이 없어 서비 스창구를 폐쇄할 때까지의 시간간격으로 정의된다(Rhee 와 Sivazlian[11, 12]).

최적의 운용방침을 결정하기 위해 필요한 시스템 특 성치는 한 사람의 고객이 시스템 내부에서 단위시간을 기다리는데 필요한 비용, 한 사람의 server가 고객에게 단 위시간의 서비스를 제공하는데 필요한 비용 그리고 서 비스창구를 폐쇄하고 재개하는데 필요한 비용요소와 결 합되어 시스템 운용에 필요한 단위시간당 기대되는 총 비용함수를 구성하게 된다. 그렇지만 단위시간당 기대되 는 총비용함수를 구성하기 위해 필요한 시스템 특성치는 운용방침에 포함되어 있는 입력변수의 수가 증가하면 증가할수록 유도과정에서 발생되는 어려움과 복잡한 정 도가 매우 커지며 또한 최적 운용방침의 결정에 더욱 더 큰 어려움이 내재되어 있어 실제상황에서 적용하기 불 가능해질 가능성이 존재하는 특징이 있다.

이러한 현실적인 어려움을 해결할 수 있으면서 또한 현장에서의 적용가능성을 높일 수 있는 새로운 형태의 (TN) 운용방침을 다음과 같이 정의하며 (TN) 운용방침이 적용되었을 때의 단위시간당 기대되는 총비용을 최소화 하는 조건으로 운용방침의 최적해를 유도함을 본 연구의 목적으로 설정한다.

(TN) 운용방침 : 서비스를 기다리는 고객이 없어 서비 스창구가 폐쇄된 이후, T단위시간이 경과하기 전에 최 소한 한 사람의 고객이 대기시스템에 도착한 경우, T 운용방침이 적용된다. 그러나 T단위시간이 경과하기 전 에 한 사람의 고객이 도착하지 않았을 경우, N운용방침 이 적용된다.

3.대기모형의 정의

안정상태(steady-state)에 있는 M/G/1 대기모형에 관하여 다음과 같은 사항을 가정한다.

4.시스템 특성치 유도

(TN) 운용방침이 적용되는 M/G/1 대기모형의 busy period는 T 혹은 N 운용방침으로 시작하느냐에 따라 결정 된다. 따라서 busy period가 T 혹은 N 운용방침에 따라 시작될 확률을 각각 P[T]와 P[N]으로 정의하고 식 (1)을 사용하면 다음과 같이 주어진다.

4.1.시스템 내부에 있는 고객수의 기대값

조정가능한 M/G/1 대기모형에 단순 T, N 그리고 (TN) 운용방침이 적용되었을 때 시스템 내부에 있는 고객 수를 나타내는 확률변수를 X_N, X_T 그리고 X(_TN)라고 정의하 면, 다음과 같은 관계식이 성립한다.

따라서 X_N, X_T 그리고 X(_TN)의 기대값을 각각 E[X_T], E[X_N] 그리고 E[X(_TN)]라고 정의하고, 식 (6)을 사용하면 다음 과 같은 관계식이 얻어진다.

Heyman[4]와 Yadin과 Naor[14]의 결과로 E[X_T]와 E[X_N] 는 다음과 같이 주어진다.

여기에서 ρ = λ μ 그리고 σ² 각 고객에게 제공되는 서비 스시간의 분산(variance)을 나타낸다. 식 (8)과 (9)에서 주어진 E[X_T]와 E[X_N]를 식 (7)에 대입하면 E[X(_TN)]는 아래와 같이 유도된다.

그런데 식 (2)에서 주어진 E[X₀]를 사용하면 식 (10) 은 아래와 같이 표현된다.

4.2.Busy Period 기대값 유도

조정가능한 M/G/1 대기모형에 단순 T와 N 운용방침이 적용되었을 때 busy period의 기대값을 각각 E[B_T]과 E[B_N] (Gakis, Rhee와 Sivazlian[3] 혹은 Rhee[6, 9, 10] 혹은 Rhee 와 Oh[7, 8])라고 정의하면 이들은 다음과 같이 주어진다.

또한 조정가능한 M/G/1 대기모형에 (TN) 운용방침이 적용되었을 때, busy period가 T 운용방침 혹은 N 운용방 침으로 시작될 때의 idle period 기대값을 각각 E[I_T]와 E[I_N]으로 정의하면 다음과 같다.

여기에서 idle period는 서비스창구가 폐쇄되어 있는 시간 간격을 나타내며 busy period와 idle period의 합을 busy cycle이라고 정의한다. 그리고 (TN) 운용방침이 적용될 때 의 busy period, idle period와 busy cycle의 기대값을 각각 E[B(_TN)], E[I(_TN)] 그리고 E[BC(_TN)]라면 다음이 성립한다.

식 (16)에 식 (4)와 식 (5)에서 주어진 P[T]와 P[N] 그 리고 식 (12)와 식 (13)에서 주어진 E[B_T]과 E[B_N]을 대 입하면

식 (19)에 식 (3)에서 주어진 E[B₀]를 대입하면 E[B(_TN)] 은 다음과 같다.

같은 방법으로 식 (17)에 주어진 P[T]와 P[N] 그리고 식 (14)와 식 (15)에서 주어진 P[N]과 E[I_T]과 E[I_N]를 대입하면

마지막으로 식 (18)에 식 (20)과 식 (21)에서 주어진 E[B_(TN)] 과 E[I_(TN)]을 대입하면 E[BC_(TN)]이 다음과 같이 결과를 얻을 수 있다.

E BC TN = 1 μ 1 − ρ Ne − λ T + λ T = 1 + e − λ T T + Ne − λ T λ = λ μ 1 − ρ + 1 + e − λ T T + 1 μ 1 − ρ + 1 λ Ne − λ T

여기에서 λ μ 1 − ρ + 1 = α 와 λ μ 1 − ρ + 1 λ = β로 치환하 면 E[BC_(TN)]는 다음과 같이 표현된다.

5.시스템 운용에 따른 단위시간당 기대되는 총비용함수 구축

시스템 운용에 따른 단위시간당 기대되는 총비용함수 를 구축하기 위해서는 서비스를 받으려는 고객이 시스템 에서 기다리는데 발생되는 제반 비용 그리고 서비스창구 의 폐쇄 및 재개에 필요한 비용을 고려하여야 한다. 이러 한 비용요소를 좀 더 구체적으로 표현하기 위해 다음을 정의한다.

f(T,N)을 위에서 정의된 비용요소와 필요한 시스템 특성치가 결합된 시스템운용에 따른 단위시간당 기대되 는 총비용함수라고 정의하면 f(T,N)는 다음과 같이 표현 된다.

6.최적 (TN) 운용방침의 결정

조정가능한 M/G/1 대기모형에 적용되는 (TN) 운용방침 의 최적해는 식 (26)에서 주어진 시스템 운용에 따른 단 위시간당 기대되는 총비용함수, f(T,N)를 가장 작게 하 는 T와 N의 값, T^*과 N^*는 다음과 같이 유도된다.

정리 :

식 (26)에서 주어진 (TN) 운용방침이 적용되는 조 정가능한 M/G/1 대기모형의 단위시간당 기대되는 총비 용함수를 최소화하는 입력변수의 최적해 T*과 N*는 다 음과 같이 유도된다.

T ∗ = 1 − ρ λ 2 − ρ N ∗ = 2 k λ h 1 − ρ h ¯ − 1 λ 1 − ρ 2 − ρ 2 e 1 − ρ 2 − ρ − 1 − ρ 2 2 − ρ

증명 :

식 (26)을 사용하여 ∂ f T , N ∂ T = 0 와 ∂ f T , N ∂ N = 0 를 만족하는 T와 N의 값을 구하면 된다. ∂ f T , N ∂ N = 0 와 ∂ f T , N ∂ N = 0 는 다음과 같이 유도된다.

∂ f T , N ∂ T = he − λ T − λ N − 1 2 + h − e − λ T − λ λ T 2 + h 1 − e − λ T λ 2

식 (28)에서 주어진 ∂ f T , N ∂ N 로부터 ∂ f T , N ∂ N = 0를 풀면

h 2 e − λ T = k β e − λ T α + e − λ T T + β Ne − λ T 2 he − λ T α + e − λ T T + β Ne − λ T 2 = 2 k β e − λ T

따라서

또한

또한 식 (27)의 ∂ f T , N ∂ T의 마지막 항

− k e − λ T − λ T + α + e − λ T + β Ne − λ T − λ α + e − λ T T + β Ne − λ T 2 에 식 (29) 과 식 (30)의 결과를 대입하여 간단히 하면 다음과 같다.

식 (31)의 결과를 식 (25)에 대입하여 ∂ f T , N ∂ T = 0 를 풀면 다음과 같다.

그런데 식 (25)에서 주어진 결과를 사용하면 아래의 관계식이 성립함을 쉽게 확인할 수 있다.

α h 2 β = λ h 2

그래서 식 (32)는 다음과 같다.

식 (33)의 좌우변에 2 β λ h 를 곱하면 다음과 같다.

식 (30)과 식 (34)로 구성된 연립방정식을 풀면 다음 과 같다.

2 k β h − α + e − λ T T = β λ T e − λ T − 1 λ e − λ T + 2 k β h − α T

위 식을 간단히 하면 다음과 같은 관계식이 유도된다.

e − λ T T = β λ Te − λ T − 1 λ e − λ T

각 항을 e^-λT로 나눈 후 T에 관하여 풀면,

또한 식 (25)을 사용하면βλ = α이므로

그런데 식 (23)에서 주어진 α를 식 (35)에 대입하여 간단히 하면

여기에서 ρ = λ μ 를 의미한다. 마지막으로 식 (36)에서 얻어진 T^* 그리고 식 (23)와 식 (24)에서 주어진 α와 β 를 식 (30)에 대입하면 N^*를 구할 수 있다.

N ∗ = 2 k β h − α + e − λ T ∗ T ∗ β e − λ T ∗ = 2 k λ h 1 − ρ − 1 1 − ρ + e − λ 1 − ρ λ 2 − ρ 1 − ρ λ 2 − ρ 1 λ 1 − ρ e − λ 1 − ρ λ 2 − ρ = 2 k λ h 1 − ρ − 1 λ 2 − ρ + e − 1 − ρ 2 − ρ 1 − ρ λ 2 − ρ e − 1 − ρ 2 − ρ λ 1 − ρ = λ 1 − ρ 2 k λ h 1 − ρ − 1 2 − ρ + e − 1 − ρ 2 − ρ 1 − ρ λ 2 − ρ λ 1 − ρ e − 1 − ρ 2 − ρ λ 1 − ρ = 2 k λ h 1 − ρ h − 1 λ 1 − ρ 2 − ρ 2 + 1 − ρ 2 2 − ρ e − 1 − ρ 2 − ρ e − 1 − ρ 2 − ρ = 2 k λ h 1 − ρ h − 1 λ 1 − ρ 2 − ρ 2 e − 1 − ρ 2 − ρ − 1 − ρ 2 2 − ρ

7.결 론

조정가능한 M/G/1 대기모형에 적용될 수 있는 다양한 형태의 운용방침이 개발되어 소개되고 있지만 대부분의 경 우 각각의 운용방침의 적용에 따른 시스템 특성치가 매우 복잡한 형태로 주어지기 때문에 시스템 운용에 따른 비용 요소를 고려한 단위시간당 기대되는 총비용함수를 활용한 입력변수들의 최적해 유도에 많은 어려움이 따른다. 따라 서 다양한 형태의 새로운 운용방침의 개발도 중요하지만 그러한 운용방침에 포함된 입력변수들의 최적해의 유도의 가능성 또한 고려되어야 한다. 이러한 문제를 고려하여 제 안된 (TN) 운용방침이 적용되는 조정가능한 M/G/1 대기모 형의 최적운용방침의 성공적 유도는 또 다른 형태의 운용 방침의 개발, 즉 예를 들면 {T|Min(N, T)}, {T|Max(N, T)}, {T|Min(N, D)} 혹은 {T|Max(N, D)} 운용방침 등과 같은 복 잡한 형태이지만 현실성이 있는 운용방침의 적용에 따른 시스템의 분석과 최적 운용방침을 결정할 수 있는 가능성 을 제시하였다고 볼 수 있다.